§ 2. Ряд Фурье

В предыдущей главе мы познакомились с другой точкой зрения на колеблющуюся систему. Мы видели, что в струне возникают различные собственные гармоники и что любое частное колебание, которое только возможно получить из начальных условий, можно рассматривать как составленную в надлежащей пропорции комбинацию нескольких одновременно осциллирующих собственных гармоник. Для струны мы нашли, что собственные гармоники имеют частоты . Поэтому наиболее общее движение струны складывается из синусоидальных колебаний основной частоты , затем второй гармоники , затем третьей гармоники  и т. д. Основная гармоника повторяется через каждый период , вторая гармоника - через каждый период ; она повторяется также и через каждый период , т. е. после двух своих периодов. Точно таким же образом через период  повторяется и третья гармоника. В этом отрезке укладываются три ее периода. И снова мы понимаем, почему задетая струна через период  полностью повторяет форму своего движения. Так получается музыкальный звук.

До сих пор мы говорили о движении струны. Однако звук, который представляет собой движение воздуха, вызванное движением струны, тоже должен состоять из тех же гармоник, хотя здесь мы уже не можем говорить о собственных гармониках воздуха. К тому же относительная сила различных гармоник в воздухе может быть совсем другой, чем в струне, особенно если струна «связана» с воздухом посредством «звучащей доски». Разные гармоники по-разному связаны с воздухом.

Если для музыкального тона функция  представляет давление воздуха в зависимости от времени (скажем, такая, как на фиг. 50.1,б), то можно ожидать, что  записывается в виде суммы некоторого числа простых гармонических функций от времени (подобных ) для каждой из различных гармонических частот. Если период колебаний равен , то основная угловая частота будет , а следующие гармоники будут  и т. д.

Здесь появляется небольшое усложнение. Мы не вправе ожидать, что для каждой частоты начальные фазы обязательно будут равны друг другу. Поэтому нужно пользоваться функциями типа . Вместо этого, однако, проще использовать для каждой частоты как синус, так и косинус. Напомним, что

,                  (50.1)

а поскольку  - постоянная, то любые синусоидальные колебания с частотой  могут быть записаны в виде суммы членов, в один из которых входит , а в другой - .

Итак, мы приходим к заключению, что любая периодическая функция  с периодом  математически может быть записана в виде

,  (50.2)

где , а  и  - числовые постоянные, указывающие, с каким весом каждая компонента колебания входит в общее колебание . Для большей общности мы добавили в нашу формулу член с нулевой частотой , хотя обычно для музыкальных тонов он равен нулю. Это просто сдвиг средней величины звукового давления (т. е. сдвиг «нулевого» уровня). С этим членом наша формула верна для любого случая. Уравнение (50.2) схематически показано на фиг. 50.2. Амплитуды гармонических функций  и  выбираются по специальному правилу. На рисунке они показаны только схематически без соблюдения масштаба. [Ряд (50.2) называется рядом Фурье для функций .]

Фиг. 50.2. Любая периодическая функция  равна сумме простых гармонических функций.

Мы сказали, что любую периодическую функцию можно написать в таком виде. Следует внести небольшую поправку и подчеркнуть, что в такой ряд можно разложить вообще любую звуковую волну или любую функцию, с которой мы сталкиваемся в физике. Математики, конечно, могут придумать такую функцию, что ее нельзя будет составить из простых гармонических (например, функцию, которая «заворачивает» назад, так что для некоторых величин  она имеет два значения!). Однако здесь нам не стоит беспокоиться о таких функциях.