§ 5. Операции с

Можно ли с векторным оператором  производить другие алгебраические действия? Попробуем скомбинировать его с вектором. Из двух векторов можно составить скалярное произведение, причем двоякого рода:

или

Первое выражение пока что ничего не означает — это все еще оператор. Окончательный смысл его зависит от того, на что он будет действовать. А второе произведение — это некое скалярное поле (потому что  — всегда скаляр).

Попробуем составить скалярное произведение  на известное поле, скажем на . Распишем покомпонентно

,                            (2.32)

или

                                                         (2.33)

Эта сумма инвариантна относительно преобразования координат. Если выбрать другую систему (отмеченную штрихами), то получилось бы

,                                                                  (2.34)

а это — то же самое число, которое получилось бы и из (2.33), хотя с виду оно выглядит иначе, т. е.

                                                                            (2.35)

в любой точке пространства. Итак,  — это скалярное поле, и оно должно представить собой некоторую физическую величину. Вы должны понимать, что комбинация производных в  имеет довольно специальный вид. Могут быть и другие комбинации всяческого вида, скажем , которые не являются ни скалярами, ни компонентами векторов.

Скалярная величина  очень широко применяется в физике. Ей присвоили имя «дивергенция», или «расходимость». Например,

                                                        (2.36)

Можно было бы, как и для , описать физический смысл . Но мы отложим это до лучших времен.

Посмотрим сначала, что еще можно испечь из векторного оператора . Как насчет векторного произведения? Можно надеяться, что

                                                                                 (2.37)

Компоненты этого вектора можно написать, пользуясь обычным правилом для векторного произведения [см. (2.2)]:

                                                 (2.38)

Подобно этому,

                                                  (2.39)

и

                                                 (2.40)

Комбинацию  называют «ротор» (пишут ), или (редко) «вихрь » (пишут ). Происхождение этого названия и физический смысл комбинации мы обсудим позже.

В итоге мы получили три сорта комбинаций, куда входит :

Используя эти комбинации, можно пространственные вариации полей записывать в удобном виде, т. е. в виде, не зависящем от той или иной совокупности осей координат.

В качестве примера применения нашего векторного дифференциального оператора  выпишем совокупность векторных уравнений, в которой содержатся те самые законы электромагнетизма, которые мы словесно высказали в гл. 1. Их называют уравнениями Максвелла.

Уравнения Максвелла

                                 (2.41)

где  — «плотность электрического заряда» (количество заряда в единице объема), a  — «плотность электрического тока» (скорость протекания заряда сквозь единицу площади). Эти четыре уравнения содержат в себе законченную классическую теорию электромагнитного поля. Видите, какой элегантной и простой записи мы добились с помощью наших новых обозначений!