§ 8. Подвохи

Мы применили наши знания обычной векторной алгебры к алгебре оператора . Здесь нужно быть осторожным, иначе легко напутать. Нужно упомянуть о двух подвохах (впрочем, в нашем курсе они не встретятся). Что можете вы сказать о следующем выражении, куда входят две скалярные функции  и :

Вы можете подумать, что это нуль, потому что оно похоже на

,

а это всегда равно нулю (векторное произведение двух одинаковых векторов  всегда нуль). Но в нашем примере два оператора  отнюдь не одинаковы! Первый действует на одну функцию, , а второй — на другую, . И хотя мы изображаем их одним и тем же значком , они все же должны рассматриваться как разные операторы. Направление  зависит от функции , а направление  — от функции , так что они не обязаны быть параллельными:

 (в общем случае).

К счастью, к таким выражениям мы прибегать не будем. (Но сказанное нами не меняет того факта, что  в любом скалярном поле: здесь обе  действуют на одну и ту же функцию.) Подвох номер два (он тоже в нашем курсе не встретится): правила, которые мы здесь наметили, выглядят просто и красиво только в прямоугольных координатах. Например, если мы хотим написать компоненту выражения , то сразу пишем

                                 (2.60)

Но это выражение не годится, если мы ищем радиальную компоненту . Она не равна . Дело в том, что в алгебре векторов все их направления полностью определены. А когда мы имеем дело с векторными полями, то их направления в разных местах различны. Когда мы пробуем описать векторное поле, например, в полярных координатах, то «радиальное» направление меняется от точки к точке. И начав дифференцировать компоненты, вы запросто можете попасть в беду. Даже в постоянном векторном поле радиальная компонента от точки к точке меняется.

Обычно безопаснее и проще всего держаться прямоугольных координат. Но стоит упомянуть и одно исключение: поскольку лапласиан  есть скаляр, то можно писать его в любой системе координат (скажем, в полярных координатах). Но так как это дифференциальный оператор, то применять его надо только к векторам с фиксированным направлением компонент, т. е. к заданным в прямоугольных координатах. Итак, расписывая наши векторные дифференциальные уравнения покомпонентно, мы будем предварительно выражать все наши векторные поля через их компоненты.