§ 7. Однородно заряженный шар; заряженная сфера

В гл. 4 мы уже применяли закон Гаусса, когда должны были найти поле вне однородно заряженной шаровой области. Тот же метод может дать нам и поле в точках внутри шара. Этот расчет, например, может быть использован для получения хорошего приближения к полю внутри атомного ядра. Вопреки тому, что протоны в ядре взаимно отталкиваются они из-за сильного ядерного притяжения распределены по всему ядру почти однородно.

Пусть у нас имеется сфера радиуса , однородно наполненная зарядами. Пусть заряд в единице объема равен . Снова, используя соображения симметрии, можно предположить, что поле радиально и в точках, равноудаленных от центра, по величине одинаково. Чтоб определить поле в точке на расстоянии  от центра, представим сферическую гауссову поверхность радиуса , как показано на фиг. 5.8. Поток из нее равен

Фигура 5.8. Закон Гаусса можно применить для определения поля внутри однородно заряженного шара.

Заряд внутри нее равен внутреннему объему, умноженному на , т. е.

Применяя закон Гаусса, получаем величину поля

                               (5.7)

Вы видите, что при  эта формула дает правильный результат. Электрическое поле пропорционально расстоянию от центра и направлено по радиусу наружу.

Аргументы, которые мы только что приводили для однородно заряженного шара, можно применить и к заряженной сфере. Опять предполагая радиальность и сферическую симметрию поля, из закона Гаусса немедленно получаем, что поле вне сферы во всем подобно полю точечного заряда, поле же внутри сферы — нуль (если мы проведем гауссову поверхность внутри сферы, то внутри нее зарядов не окажется).