Глава 6. Электрическое поле в разных физических условиях

§ 1. Уравнения электростатического потенциала

В этой главе мы расскажем о поведении электрического поля в тех или иных обстоятельствах. Вы познакомитесь с тем, как ведет себя электрическое поле, и с некоторыми математическими методами, используемыми для определения поля.

Отметим для начала, что математически вся задача состоит в решении двух уравнений — максвелловских уравнений электростатики:

,                                                                              (6.1)

                                                                                (6.2)

Фактически оба эти уравнения можно объединить в одно. Из второго уравнения сразу же следует, что поле может считаться градиентом некоего скаляра (см. гл. 3, § 7):

                                                                    (6.3)

Электрическое поле каждого частного вида можно, если нужно, полностью описать с помощью потенциала поля . Дифференциальное уравнение, которому должно удовлетворять , получится, если (6.3) подставить в (6.1):

                                                                         (6.4)

Расходимость градиента  — это то же, что , действующее на :

,                              (6.5)

так что уравнение (6.4) мы запишем в виде

                             (6.6)

Оператор  называется лапласианом, а уравнение (6.6) — уравнением Пуассона. Весь предмет электростатики с математической точки зрения заключается просто в изучении решений одного-единственного уравнения (6.6). Как только из (6.6) вы найдете , поле  немедленно получается из (6.3).

Обратимся сперва к особому классу задач, в которых  задано как функция . Такая задача почти тривиальна, потому что решать уравнение. (6.6) в общем случае мы уже умеем. Мы ведь показали, что если  в каждой точке известно, то потенциал в точке (1) равен

                              (6.7)

где  — плотность заряда,  — элемент объема в точке (2), а  — расстояние между точками (1) и (2). Решение дифференциального уравнения (6.6) свелось к интегрированию по пространству. Решение (6.7) нужно отметить особо, потому что в физике часто встречаются ситуации, приводящие к уравнениям, которые выглядят так:

,

и (6.7) является прототипом решения любой такой задачи.

Проблема расчета электростатического поля, таким образом, решается совершенно честно, если только положения всех зарядов известны. Давайте посмотрим на нескольких примерах, как действует эта формула.