§ 3. Колебания плазмы

Займемся теперь такими физическими задачами, в которых поле создается не закрепленными зарядами и не зарядами на проводящих поверхностях, а сочетанием обоих факторов. Иными словами, полем управляют одновременно две системы уравнений: 1) уравнения электростатики, связывающие электрическое поле с распределением зарядов; 2) уравнения из другой области физики, определяющие положение или движения зарядов в поле.

Сперва мы разберем один динамический пример. В нем движение зарядов контролируется законами Ньютона. Простой пример такого положения вещей наблюдается в плазме, в ионизованном газе, состоящем из ионов и свободных электронов, распределенных в какой-то области пространства. Ионосфера (верхний слой атмосферы) служит примером такой плазмы. Ультрафиолетовые лучи Солнца отрывают от молекул воздуха электроны и создают свободные электроны и ионы. В плазме положительные ионы намного тяжелее электронов, так что можно пренебречь движением в ней ионов по сравнению с движением электронов.

Пусть будет плотностью электронов в невозмущенном равновесном состоянии. Такой же должна быть и плотность положительных ионов, потому что в невозмущенном состоянии плазма нейтральна. Теперь допустим, что электроны каким-то образом выведены из равновесия. Что тогда получится? Если плотность электронов в какой-то области возросла, они начнут отталкиваться и стремиться вернуться в прежнее положение равновесия. Двигаясь к своим первоначальным положениям, они наберут кинетическую энергию и вместо того, чтобы замереть в равновесной конфигурации, проскочат мимо. Начнутся колебания. Нечто похожее наблюдается в звуковых волнах, но там возвращающей силой было давление газа. В плазме возвращающая сила — это действующее на электроны электрическое притяжение.

Чтобы упростить рассуждения, мы будем заниматься только одномерным движением электронов — скажем, в направлении . Предположим, что электроны, первоначально находившиеся в точке , к моменту сместились из положения равновесия на расстояние . Раз они сместились, то плотность их, вообще говоря, изменилась. Это изменение подсчитать легко. Если посмотреть на фиг. 7.6, то видно, что электроны, вначале находившиеся между плоскостями и , сдвинулись и теперь находятся между плоскостями и . Количество электронов между и прежде было пропорционально ; теперь то же их количество находится в промежутке шириной . Плотность теперь стала

(7.16)

Фигура 7.6. Движение волны в плазме.

Электроны от плоскости сдвигаются к , а от —к .

Если изменение плотности мало, то можно написать [заменяя с помощью биномиального разложения на ]

(7.17)

Что касается ионов, то предположим, что они не сдвинулись заметно с места (инерция-то у них куда больше), так что плотность их осталась прежней, . Заряд каждого электрона , и средняя плотность заряда в любой точке равна

или

(7.18)

(здесь записано через дифференциалы).

Далее, уравнения Максвелла связывают с плотностью зарядов электрическое поле. В частности,

(7.19)

Если задача действительно одномерна (и никаких полей, кроме вызываемых смещением электронов, нет), то у электрического поля есть одна-единственная составляющая . Уравнение (7.19) вместе с (7.18) приведет к

(7.20)

Интегрируя (7.20), получаем

(7.21)

Постоянная интегрирования равна нулю, потому что при .

Сила, действующая на смещенный электрон, равна

, (7.22)

т. е. возвращающая сила пропорциональна смещению электрона. Это приведет к гармоническим колебаниям электронов. Уравнение движения смещенного электрона имеет вид

(7.23)

Отсюда следует, что меняется по гармоническому закону. Во времени меняется как или, если использовать экспоненту (см. вып. 3), как

(7.24)

Частота колебаний определяется из (7.23):

(7.25)

Это число, характеризующее плазму, называют собственной частотой колебаний плазмы, или плазменной частотой.

Оперируя с электронами, многие предпочитают получать ответы в единицах , определяемых как

(7.26)

При этом условии (7.25) превращается в

(7.27)

В таком виде эту формулу можно встретить во многих книгах.

Итак, мы обнаружили, что возмущения плазмы приводят к свободным колебаниям электронов вблизи положения равновесия с собственной частотой , пропорциональной корню квадратному из плотности электронов. Плазменные электроны ведут себя как резонансная система, подобная описанным в вып. 2, гл. 23.

Этот собственный резонанс плазмы приводит к интересным эффектам. Например, при прохождении радиоволн сквозь ионосферу обнаруживается, что они могут пройти только в том случае, если их частота выше плазменной частоты. А иначе они отражаются обратно. Для связи с искусственным спутником мы используем высокие частоты. Если же мы хотим связаться с радиостанцией, расположенной где-то за горизонтом, то необходимы частоты меньшие, чем плазменная частота, иначе сигнал не отразится обратно к Земле.

Другой интересный пример колебаний плазмы наблюдается в металлах. В них содержится плазма из положительных ионов и свободных электронов. Плотность там очень высока, значит, велика и . Но колебания электронов все же можно обнаружить. Ведь, согласно квантовой механике, гармонический осциллятор с собственной частотой обладает уровнями энергии, отличающимися друг от друга на величину . Значит, если, скажем, обстреливать электронами алюминиевую фольгу и очень точно измерять их энергию по ту сторону фольги, то можно ожидать, что временами электроны будут из-за колебаний плазмы терять как раз энергию . Так это и происходит. Впервые это явление наблюдалось экспериментально в 1936 г. Электроны с энергиями от нескольких сот до нескольких тысяч электронвольт, рассеиваясь от тонкой металлической фольги или проходя сквозь нее, теряли энергию порциями. Эффект оставался непонятым до 1953 г., пока Бом и Пайнс не показали, что все это можно объяснить квантовым возбуждением плазмы в металле.