§ 3. Полярные молекулы; ориентационная поляризация

Теперь рассмотрим молекулу, обладающую постоянным дипольным моментом , например молекулу воды. В отсутствие электрического поля отдельные диполи смотрят в разных направлениях, так что суммарный момент в единице объема равен нулю. Но если приложить электрическое поле, то сразу же происходят две вещи: во-первых, индуцируется добавочный дипольный момент из-за сил, действующих на электроны; эта часть приводит к той же самой электронной поляризуемости, которую мы нашли для неполярной молекулы. При очень точном исследовании этот эффект, конечно, нужно учитывать, но мы пока пренебрежем им. (Его всегда можно добавить в конце.) Во-вторых, электрическое поле стремится выстроить отдельные диполи, создавая результирующий момент в единице объема. Если бы в газе выстроились все диполи, поляризация была бы очень большой, но этого не происходит. При обычных температурах и напряженностях поля столкновения молекул при их тепловом движении не позволяют им как следует выстроиться. Но некоторое выстраивание все же происходит, а отсюда и небольшая поляризация (фиг. 11.2). Возникающая поляризация может быть подсчитана методами статистической механики, описанными в гл. 40 (вып. 4).

Фигура. 11.2. В газе полярных молекул отдельные моменты ориентированы случайным образом, средний момент в небольшом объеме равен нулю (а); под действием электрического поля в среднем возникает некоторое выстраивание молекул (б).

Чтобы использовать этот метод, нужно знать энергию диполя в электрическом поле. Рассмотрим диполь с моментом в электрическом поле (фиг. 11.3). Энергия положительного заряда равна (1), а энергия отрицательного есть (2). Отсюда получаем энергию диполя

или

, (11.14)

где — угол между и . Как и следовало ожидать, энергия становится меньше, когда диполи выстраиваются вдоль поля. Теперь с помощью методов статистической механики мы выясним, насколько сильно диполи выстраиваются. В гл. 40 (вып. 4) мы нашли, что в состоянии теплового равновесия относительное число молекул с потенциальной энергией пропорционально

, (11.15)

где — потенциальная энергия как функция положения. Оперируя теми же аргументами, можно сказать, что если потенциальная энергия как функция угла имеет вид (11.14), то число молекул под углом , приходящееся на единичный телесный угол, пропорционально .

Фигура 11.3. Энергия диполя в поле равна .

Полагая число молекул на единичный телесный угол, направленных под углом , равным , имеем

. (11.16)

Для обычных температур и полей показатель экспоненты мал, и, разлагая экспоненту, можно воспользоваться приближенным выражением

(11.17)

Найдем , проинтегрировав (11.17) по всем углам; результат должен быть равен , т.е. числу молекул в единице объема. Среднее значение при интегрировании по всем углам есть нуль, так что интеграл равен просто , умноженному на полный телесный угол . Получаем

(11.18)

Из (11.17) видно, что вдоль поля () будет ориентировано больше молекул, чем против поля (). Поэтому в любом малом объеме, содержащем много молекул, возникнет суммарный дипольный момент на единицу объема, т.е. поляризация . Чтобы вычислить , нужно знать векторную сумму всех молекулярных моментов в единице объема. Мы знаем, что результат будет направлен вдоль , поэтому нужно только просуммировать компоненты в этом направлении (компоненты, перпендикулярные , при суммировании дадут нуль):

Мы можем оценить сумму, проинтегрировав по угловому распределению. Телесный угол, отвечающий , есть ; отсюда

(11.19)

Подставляя вместо его выражение из (11.17), имеем

что легко интегрируется и приводит к следующему результату:

(11.20)

Поляризация пропорциональна полю , поэтому диэлектрические свойства будут обычные. Кроме того, как мы и ожидаем, поляризация обратно пропорциональна температуре, потому что при более высоких температурах столкновения больше разрушают выстроенность. Эта зависимость вида называется законом Кюри. Квадрат постоянного момента появляется по следующей причине: в данном электрическом поле выстраивающая сила зависит от , а средний момент, возникающий при выстраивании, снова пропорционален . Средний индуцируемый момент пропорционален .

Теперь посмотрим, насколько хорошо уравнение (11.20) согласуется с экспериментом. Возьмем водяной пар. Поскольку мы не знаем, чему равно , то не можем прямо вычислить и , но уравнение (11.20) предсказывает, что должна меняться обратно пропорционально температуре, и это нам следует проверить.

Из (11.20) получаем

(11.21)

так что должна меняться прямо пропорционально плотности и обратно пропорционально абсолютной температуре. Диэлектрическая проницаемость была измерена при нескольких значениях давления и температуры, выбранных таким образом, чтобы число молекул в единице объема оставалось постоянным. (Заметим, что, если бы все измерения выполнялись при постоянном давлении, число молекул в единице объема уменьшалось бы линейно с повышением температуры, а изменялась бы как , а не как .) На фиг. 11.4 мы отложили измеренные значения как функцию . Зависимость, предсказываемая формулой (11.21), выполняется хорошо.

Фигура 11.4. Измеренные значения диэлектрической проницаемости водяного пара, при нескольких температурах.

Есть еще одна особенность диэлектрической проницаемости полярных молекул — ее изменение в зависимости от частоты внешнего поля. Благодаря тому, что молекулы имеют момент инерции, тяжелым молекулам требуется определенное время, чтобы повернуться в направлении поля. Поэтому, если использовать частоты из верхней микроволновой зоны или из еще более высокой, полярный вклад в диэлектрическую проницаемость начинает спадать, так как молекулы не успевают следовать за полем. В противоположность этому электронная поляризуемость все еще остается неизменной вплоть до оптических частот, поскольку инерция электронов меньше.