Глава 15. ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ

§ 1. Силы, действующие на петлю с током; энергия диполя

В предыдущей главе мы изучали магнитное поле, создаваемое маленькой прямоугольной петлей, по которой течет ток. Мы нашли, что это поле диполя с дипольным моментом, равным

,                       (15.1)

где  - сила тока, а  - площадь петли. Момент направлен по нормали к плоскости петли, так что можно писать и так:

,

где  - единичный вектор нормали к площади .

Петли с током, или магнитные диполи, не только создают магнитные поля, но и сами подвергаются действию силы, попав в магнитное поле других токов. Рассмотрим сперва силы, действующие на прямоугольную петлю в однородном магнитном поле. Пусть ось  направлена по полю, а ось  лежит в плоскости петли, образующей с плоскостью  угол  (фиг. 15.1). Тогда магнитный момент петли, будучи нормальным к ее плоскости, образует с магнитным полем тоже угол .

Фиг. 15.1. Прямоугольная петля с током  в однородном поле , направленном по оси .

Действующий на нее вращательный момент равен , где магнитный момент .

Раз токи на противоположных сторонах петли текут в противоположные стороны, то и силы, действующие на них, тоже направлены врозь, а суммарная сила равна нулю (в однородном поле). Но благодаря силам, действующим на стороны, обозначенные на фиг. 15.1 цифрами 1 и 2, возникает вращательный момент, стремящийся вращать петлю вокруг оси . Величина этих сил  и  такова:

.

Их плечо равно

,

так что вращательный момент

,

или, поскольку  - магнитный момент петли,

.

Вращательный момент может быть записан и векторно:

.                  (15.2)

То, что вращательный момент дается уравнением (15.2), мы показали пока только для довольно частного случая. Но результат, как мы увидим, верен для маленьких петель любой формы. Полезно напомнить, что и для вращательного момента, действующего на электрический диполь, мы получили соотношение подобного же рода:

.

Сейчас нас интересует механическая энергия нашей петли, по которой течет ток. Раз есть момент вращения, то энергия, естественно, зависит от ориентации петли. Принцип виртуальной же работы утверждает, что момент вращения - это скорость изменения энергии с углом, так что можно написать

.

Подставляя  и интегрируя, мы вправе принять за энергию выражение

.               (15.3)

(Знак минус стоит потому, что петля стремится развернуть свой момент по полю; энергия ниже всего тогда, когда  и  параллельны.)

По причинам, о которых мы поговорим позже, эта энергия не есть полная энергия петли с током. (Мы, к примеру, не учли энергии, идущей на поддержание тока в петле.) Поэтому мы будем называть ее , чтобы не забыть, что это лишь часть энергии. И, кроме того, постоянную интегрирования в (15.3) мы вправе принять равной нулю, все равно ведь какие-то другие виды энергии мы не учли. Так что мы перепишем уравнение так:

.                       (15.4)

Опять получилось соответствие с электрическим диполем, где было

.                (15.5)

Только в (15.5) электрическая энергия - и вправду энергия, a  в (15.4) - не настоящая энергия. Но все равно ее можно применять для расчета сил по принципу виртуальной работы. Надо только предполагать, что ток в петле (или по крайней мере магнитный момент ) остается неизменным при повороте.

Для нашей прямоугольной петли можно показать, что  соответствует также работе, затрачиваемой на то, чтобы внести петлю в поле. Полная сила, действующая на петлю, равна нулю лишь в однородном поле, а в неоднородном все равно останутся какие-то силы, действующие на токовую петлю. Внося петлю в поле, мы вынуждены будем пронести ее через места, где поле неоднородно, и там будет затрачена работа. Будем считать для упрощения, что петлю вносят в поле так, что ее момент направлен вдоль поля. (А в конце, уже в поле, ее можно повернуть как надо.)

Вообразите, что мы хотим двигать петлю в направлении , т. е. в ту область, где поле сильнее, и что петля ориентирована так, как показано на фиг. 15.2. Мы отправимся оттуда, где поле равно нулю, и будем интегрировать силу по расстоянию по мере того, как петля входит в поле.

Фиг. 15.2. Петлю проносят через поле  (поперек него) в направлении .

Рассчитаем сначала работу переноса каждой стороны по отдельности, а затем все сложим (вместо того, чтобы складывать силы до интегрирования). Силы, действующие на стороны 3 и 4, направлены поперек движения, так что на эти стороны работа не тратится. Сила, действующая на сторону 2, направлена по  и равна ; чтобы узнать всю работу против действия магнитных сил, нужно проинтегрировать это выражение по  от некоторого значения , где поле равно нулю, скажем, от  до теперешнего положения :

.                     (15.6)

Подобно этому, и работа против сил, действующих на сторону 1, равна

.                      (15.7)

Чтобы вычислить каждый интеграл, надо знать, как  зависит от . Но ведь сторона 1 при движении рамки расположена все время параллельно стороне 2 на одном и том же расстоянии от нее, так что в ее интеграл входит почти вся работа, затраченная на перемещение стороны 2. Сумма (15.6) и (15.7) на самом деле равна

.               (15.8)

Но, попав в область, где  на обеих сторонах 1 и 2 почти одинаково, мы имеем право записать интеграл в виде

,

где  - поле в центре петли. Вся вложенная механическая энергия оказывается равной

.                (15.9)

Это согласуется с выражением для энергии (15.4), выбранным нами прежде.

Конечно, тот же вывод получился бы, если бы мы до интегрирования сложили все силы, действующие на петлю. Если бы мы обозначили через  поле у стороны 1, а через  - поле у стороны 2, то вся сила, действующая в направлении , оказалась бы равной

.

Если петля «узкая», т. е. если  и  не очень различаются между собой, то можно было бы написать

.

Так что сила была бы равна

.              (15.10)

Вся работа, произведенная внешними силами над петлей, равнялась бы

,

а это опять . Но теперь нам становится понятно, почему получается, что сила, действующая на небольшую токовую петлю, пропорциональна производной магнитного поля, как это следовало ожидать из

.                     (15.11)

Другой наш результат состоит в следующем. Хоть и не исключено, что не все виды энергии вошли в формулу  (ведь это просто некоторая имитация энергии), ею все же можно пользоваться, применяя принцип виртуальной работы, чтобы узнать, какие силы действуют на петли с постоянным током.