Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


Глава 18. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

§ 1. Уравнения Максвелла

В этой главе мы вернемся к полной системе из четырех уравнений Максвелла, которые мы приняли как отправной пункт в гл. 1 (вып. 5). До сих пор мы изучали уравнения Максвелла небольшими частями, кусочками; теперь пора уже прибавить последнюю часть и соединить их все воедино. Тогда мы будем иметь полное и точное описание электромагнитных полей, которые могут изменяться со временем произвольным образом. Все сказанное в этой главе, если даже оно и будет противоречить чему-то сказанному ранее, правильно, а то, что говорилось ранее в этих случаях, неверно, потому что все высказанное ранее применялось к таким частным случаям, как, скажем, случаи постоянного тока или фиксированных зарядов. Хотя всякий раз, когда мы записывали уравнение, мы весьма старательно указывали ограничения, легко позабыть все эти оговорки и слишком хорошо заучить ошибочные уравнения. Теперь мы можем изложить всю истину, без всяких ограничений (или почти без них).

Все уравнения Максвелла записаны в табл. 18.1 как словесно, так и в математических символах. Тот факт, что слова эквивалентны уравнениям, должен быть сейчас вам уже знаком - вы должны уметь переводить одну форму в другую и обратно.

Таблица 18.1 КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Уравнения Максвелла

 

I.

II.

III.

IV.

Закон силы

 

Закон движения

, где

(Закон Ньютона, исправленный Эйнштейном)

Гравитация

 

Первое уравнение - дивергенция  равна плотности заряда, деленной на , - правильно всегда. Закон Гаусса справедлив всегда как в динамических, так и в статических полях. Поток  через любую замкнутую поверхность пропорционален заключенному внутри заряду. Третье уравнение - соответствующий общий закон для магнитных полей. Поскольку магнитных зарядов нет, поток  через любую замкнутую поверхность всегда равен нулю. Второе уравнение  - это закон Фарадея, и обсуждался он в последних двух главах. Он тоже верен в общем случае. Но последнее уравнение содержит нечто новое. Раньше мы встречались только с частью его, которая годится для постоянных токов. В этом случае мы говорили, что ротор  равен , но правильное общее уравнение имеет новый член, который был открыт Максвеллом.

До появления работы Максвелла известные законы электричества и магнетизма были такими же, как те, что мы изучали в гл. 3-14 (вып. 5) и гл. 15-17. В частности, уравнение для магнитного поля постоянных токов было известно только в виде

.            (18.1)

Максвелл начал с рассмотрения этих известных законов и выразил их в виде дифференциальных уравнений, так же как мы поступили здесь. (Хотя символ  еще не был придуман, впервые, в основном благодаря Максвеллу, стала очевидной важность таких комбинаций производных, которые мы сегодня называем ротором и дивергенцией.) Максвелл тогда заметил, что в уравнении (18.1) есть нечто странное. Если взять дивергенцию от этого уравнения, то левая сторона обратится в нуль, потому что дивергенция ротора всегда равна нулю. Таким образом, это уравнение требует, чтобы дивергенция  также была равна нулю. Но если дивергенция  равна нулю, то полный ток через любую замкнутую поверхность тоже равен нулю.

Полный ток через замкнутую поверхность равен уменьшению заряда внутри этой поверхности. Он наверняка не может быть всегда равен нулю, так как мы знаем, что заряды могут перемещаться из одного места в другое. Уравнение

                (18.2)

фактически есть наше определение . Это уравнение выражает самый фундаментальный закон - сохранение электрического заряда: любой поток заряда должен поступать из какого-то запаса. Максвелл заметил эту трудность и, чтобы избежать ее, предложил добавить  в правую часть уравнения (18.1); тогда он и получил уравнение IV в табл. 18.1:

.

Во времена Максвелла еще не привыкли мыслить в терминах абстрактных полей. Максвелл обсуждал свои идеи с помощью модели, в которой вакуум был подобен упругому телу. Он пытался также объяснить смысл своего нового уравнения с помощью механической модели. Теория Максвелла принималась очень неохотно, во-первых, из-за модели, а, во-вторых, потому, что вначале не было экспериментального подтверждения. Сейчас мы лучше понимаем, что дело в самих уравнениях, а не в модели, с помощью которой они были получены. Мы можем только задать вопрос, правильны ли эти уравнения или они ошибочны. Ответ дает эксперимент. И уравнения Максвелла были подтверждены в бессчетных экспериментах. Если мы отбросим все строительные леса, которыми пользовался Максвелл, чтобы построить уравнения, мы придем к заключению, что прекрасное здание, созданное Максвеллом, держится само по себе. Он свел воедино все законы электричества и магнетизма и создал законченную и прекрасную теорию.

Давайте покажем, что добавочный член имеет тот самый вид, который требуется, чтобы преодолеть обнаруженную Максвеллом трудность. Взяв дивергенцию его уравнения (IV в табл. 18.1), мы должны получить, что дивергенция правой части равна нулю:

.                (18.3)

Во втором слагаемом можно переставить порядок дифференцирования по координатам и времени, так что уравнение может быть переписано в виде

.                        (18.4)

Но, согласно первому из уравнений Максвелла, дивергенция  равна . Подставляя это равенство в (18.4), мы придем к уравнению (18.2), которое, как мы знаем, правильно. И наоборот, если мы принимаем уравнения Максвелла (а мы принимаем их потому, что никто никогда не обнаружил эксперимента, который опроверг бы их), мы должны прийти к выводу, что заряд всегда сохраняется.

Законы физики не дают ответа на вопрос: «Что случится, если заряд внезапно возникнет в этой точке, какие будут при этом электромагнитные эффекты?». Ответ дать нельзя, потому что наши уравнения утверждают, что такого не происходит. Если бы это случилось, нам понадобились бы новые законы, но мы не можем сказать, какими бы они были. Нам не приходилось наблюдать, как ведет себя мир без сохранения заряда. Согласно нашим уравнениям, если вы внезапно поместите заряд в некоторой точке, вы должны принести его туда откуда-то еще. В таком случае мы можем говорить о том, что произошло.

Когда мы добавили новый член в уравнение для ротора , мы обнаружили, что им описывается целый новый класс явлений. Мы увидим также, что небольшая добавка Максвелла к уравнению для  имеет далеко идущие последствия. Мы затронем лишь некоторые из них в этой главе.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>