Глава 20. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В ПУСТОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. Волны в пустом пространстве; плоские волны

В гл. 18 мы достигли того, что уравнения Максвелла появились в полном виде. Все, что есть в классической теории электрических и магнитных полей, вытекает из четырех уравнений:

                  (20.1)

Когда мы свели все эти уравнения воедино, мы обнаружили новое знаменательное явление: поля, создаваемые движущимися зарядами, могут покинуть источник и отправиться путешествовать в пространстве. Мы рассмотрели частный случай, когда внезапно включается целая бесконечная плоскость. После того как в течение времени  шел ток, возникают однородные электрические и магнитные поля, простирающиеся от плоскости на . Предположим, что по плоскости  течет ток в направлении  с поверхностной плотностью . Электрическое поле будет иметь только -компоненту, а магнитное - только -компоненту. Величина компонент поля будет равна

                 (20.2)

для положительных , меньших . Для больших  поля равны нулю. Равные по величине поля простираются на то же расстояние от плоскости в направлении отрицательных . На фиг. 20.1 показан график зависимости величины полей от  в момент . С течением времени «волновой фронт» в  распространяется вдоль  с постоянной скоростью .

Фиг. 20.1. Зависимость электрического и магнитного полей от  через  сек после того, как была включена заряженная плоскость.

Теперь представим себе такую последовательность событий. На мгновение мы включаем ток единичной силы, а затем внезапно увеличиваем его силу втрое и поддерживаем его на этом уровне. Как же будут теперь выглядеть поля? Это можно узнать таким образом. Во-первых, надо представить ток с единичной силой, включенный при  и больше не менявшийся. Тогда поля при положительных  будут иметь вид, представленный на фиг. 20.2,а. Затем надо задать себе вопрос, что произойдет, если в момент  включить постоянный ток силой в две единицы?

Фиг. 20.2. Электрическое поле в плоскости с током.

a - одна единица тока включена в момент ; б - две единицы тока включены в момент ; в – суперпозиция а и б.

В этом случае поля станут вдвое больше, чем прежде, но отойдут по  только на промежуток  (фиг. 20.2,б). Складывая эти два решения (по принципу суперпозиции), мы получаем, что сумма источников - это ток силой в одну единицу с момента нуль до момента  и ток в три единицы в более поздние моменты. В момент  поля меняются вдоль  так, как показано на фиг. 20.2, в.

Возьмем теперь более сложную задачу. Рассмотрим ток, имевший сначала силу в одну единицу, а затем достигший силы в три единицы и выключенный. Каковы будут поля от такого тока? Решение можно получить точно так же, как и раньше, т. е. складывая решения трех разных задач. Сперва найдем поля постоянного тока единичной силы (эту задачу мы уже решали). Потом узнаем поля от тока двойной силы. И, наконец, возьмем решение для полей токов с силой в минус три единицы. Сложив все три решения, мы получим ток силой в одну единицу от  до какого-то более позднего момента, скажем, до , затем ток силой в три единицы до момента , а потом ток, равный нулю, т. е. выключенный. График зависимости тока от времени показан на фиг. 20.3,а. Складывая три решения для электрического поля, мы видим, что его изменения с расстоянием  в данный момент  подобны изображенным на фиг. 20.3,б. Поле в точности отображает собой ток. Распределение поля в пространстве есть точное отражение изменений тока со временем, но только нарисованное задом наперед. По мере того как проходит время, вся картина перемещается наружу со скоростью , так что получается ломтик полей, который движется к положительным  и хранит в себе всю историю перемен тока. Если бы мы находились где-то на расстоянии многих километров, мы могли бы лишь по изменению электрического или магнитного поля безошибочно рассказать, как менялся ток в источнике.

Фиг. 20.3. Если сила источника тока меняется так, как на рисунке (а), то в момент  электрическое поле как функция от  приобретает другой вид (б).

Заметьте также, что даже после того, как вся деятельность в источнике прекратилась и все заряды исчезли, а токи сошли на нет, наш ломтик полей продолжает свое путешествие через пространство. Получается распределение электрических и магнитных полей, которое существует независимо от токов и зарядов. Это и есть тот новый эффект, который следует из полной системы уравнений Максвелла. Мы можем, если нужно, представить только что проделанный анализ в строго математической форме, написав, что электрическое поле в данном месте и в данное время пропорционально току в источнике, но не в то же время, а в более ранний период . Можно написать

.                        (20.3)

Вас удивит, если я скажу, что мы уже выводили это уравнение раньше (с другой точки зрения), когда говорили о теории показателя преломления. Тогда нам нужно было представить себе, какие поля создаст слой колеблющихся диполей в тонком плоском диэлектрике, если диполи приводятся в движение электрическим полем падающей электромагнитной волны. Задача наша состояла в расчете комбинированного поля начальной волны и волн, излучаемых колеблющимися диполями. Как же мы смогли тогда рассчитать поля, создаваемые движущимися зарядами, не зная уравнений Максвелла? Мы тогда приняли в качестве исходной (без вывода) формулу для полей излучения, создаваемых на больших расстояниях от ускоряемого точечного заряда. Если вы заглянете в гл. 31 (вып. 3), то увидите, что выражение (31.10) - это как раз наше выражение (20.3), которое мы только что написали. Хотя прежний наш вывод относился только к большим расстояниям от источника, теперь мы видим, что тот же результат верен и вблизи источника.

Сейчас мы хотим взглянуть в общем виде на поведение электрических и магнитных полей в пустом пространстве вдалеке от источников, т. е. от токов и зарядов. Очень близко от них (так близко, что источники за время запаздывания передачи не успевают сильно измениться) поля очень похожи на те, которые получились у нас в электростатике или магнитостатике. Но если перейти к таким большим расстояниям, что запаздывание станет заметным, то природа полей может радикально отличаться от тех решений, которые мы нашли. Когда поля значительно удаляются ото всех источников, они начинают в некотором смысле приобретать свой собственный характер. Так что мы вправе приступить к обсуждению поведения полей в области, где нет ни токов, ни зарядов.

Предположим, что нас интересует род полей, которые могут существовать в областях, где и  и  равны нулю. В гл. 18 мы видели, что физику уравнений Максвелла можно также выразить на языке дифференциальных уравнении для скалярного и векторного потенциалов:

,                        (20.4)

.                   (20.5)

Если  и  равны нулю, то эти уравнения упрощаются:

,                 (20.6)

.                (20.7)

Стало быть, в пустом пространстве и скалярный потенциал , и каждая компонента векторного потенциала  удовлетворяют одному и тому же математическому уравнению. Пусть буквой  (пси) мы обозначили любую из четырех величин , , , ; тогда нам нужно изучить общие решения уравнения

.                (20.8)

Его называют трехмерным волновым уравнением - трехмерным потому, что функция  может в общем случае зависеть от ,  и  и следует учитывать изменения по каждой из этих координат. Это становится ясным, если мы выпишем явно три члена оператора Лапласа:

.                  (20.9)

В пустом пространстве электрические и магнитные поля  и  тоже удовлетворяют волновому уравнению. Так, поскольку , дифференциальное уравнение для  можно получить, взяв ротор от уравнения (20.7). Раз лапласиан - это скалярный оператор, то порядок операций вычисления лапласиана и ротора можно переставлять:

.

Точно так же можно переставлять и вычисление  и :

.

Из этого мы получаем следующее дифференциальное уравнение для :

.                (20.10)

Тем самым выясняется, что компонента магнитного поля  удовлетворяет трехмерному волновому уравнению. Подобно этому, из того факта, что , следует, что электрическое поле  в пустом пространстве удовлетворяет трехмерному волновому уравнению

.               (20.11)

Все наши электромагнитные поля подчиняются одному и тому же уравнению (20.8). Можно еще спросить: каково самое общее решение этого уравнения? Однако прежде, чем решать этот трудный вопрос, сначала посмотрим, что можно сказать в общем случае о тех решениях, в которых по  и по  ничего не меняется. (Всегда сначала беритесь за простые случаи, чтобы было видно, чего следует ожидать, а уж потом можете переходить к случаям посложней.) Предположим, что величина полей зависит только от , так что по  и по  поля не меняются. Мы, следовательно, опять рассматриваем плоские волны и должны ожидать, что получатся те же результаты, что и в предыдущей главе. И мы действительно получим в точности те же самые ответы. Вы можете спросить: «Но зачем снова делать то же самое?» Это важно, во-первых, потому, что мы не доказали, что найденные нами волны представляют собой самое общее решение для плоских волн, и, во-вторых, потому что наши поля произошли от источника тока особого вида. Сейчас мы хотели бы выяснить такой вопрос: каков самый общий вид одномерной волны в пустом пространстве? Мы не узнаем этого, если будем рассматривать тот или иной источник особого вида, нам нужна большая общность. Кроме того, на этот раз мы будем работать не с интегральной формой уравнений, а с дифференциальной. Хотя итог одинаков, это прекрасный случай поупражняться в выкладках и убедиться в том, что не имеет значения, каким путем идти. Вы должны уметь действовать любым путем, потому что, наткнувшись на трудную задачу, вы часто обнаруживаете, что годится лишь один из многих способов расчета.

Можно было бы прямо рассмотреть решение волнового уравнения для какой-нибудь из электромагнитных величин. Вместо этого мы начнем прямо с начала, с уравнений Максвелла для пустого пространства, и вы убедитесь в их тесной связи с электромагнитными волнами. Так что мы отправляемся от уравнений (20.1), полагая, что в них токи и заряды равны нулю. Они обращаются в

                       (20.12)

Распишем первое уравнение покомпонентно:

.                 (20.13)

Мы предположили, что по  и  поле не меняется, так что два последних члена равны нулю. Тогда, согласно (20.13),

.                    (20.14)

Решением его является постоянное в пространстве  (компонента электрического поля в направлении ). Взглянув на уравнение IV в (20.12) и полагая, что  тоже не изменяется вдоль  и , вы убедитесь, что  постоянно и во времени. Таким полем может оказаться постоянное поле от какого-то заряженного конденсатора вдали от этого конденсатора. Нас сейчас не занимают такие неинтересные статические поля; мы интересуемся лишь динамически изменчивыми полями. А для динамических полей .

Итак, мы пришли к важному результату о том, что при распространении плоских волн в произвольном направлении электрическое поле должно располагаться поперек направления своего распространения. Конечно, у него еще остается возможность каким-то сложным образом изменяться по координате .

Поперечное поле  можно всегда разбить на две компоненты, скажем на  и . Так что сначала разберем случай наличия у электрического поля только одной поперечной компоненты. Для начала возьмем электрическое поле, направленное по , т. е. с нулевой -компонентой. Ясно, что, решив эту задачу, мы всегда сможем разобрать и тот случай, когда электрическое поле всюду направлено по . Общее решение можно всегда представить в виде суперпозиции двух таких полей.

Какими простыми стали теперь наши уравнения! Теперь единственная ненулевая компонента электрического поля - это , и все производные (кроме производных по ) тоже равны нулю. Остатки уравнений Максвелла выглядят чрезвычайно просто.

Рассмотрим теперь второе из уравнений Максвелла [т.е. II из (20.12)]. Расписав компоненты , получаем

здесь -компонента  равна нулю, потому что равны нулю производные по  и ; -компонента тоже равна нулю: первый член потому, что все производные по  равны нулю, а второй потому, что . Единственная не равная нулю компонента  - это -компонента, она равна . Полагая, что три компоненты  равны соответствующим компонентам  мы заключаем, что

,                    (20.15)

.             (20.16)

Поскольку временные производные как -компоненты магнитного ноля, так и -компоненты магнитного ноля равны нулю, то обе эти компоненты суть попросту постоянные поля и отвечают найденным раньше магнитостатическим решениям. Ведь кто-то мог оставить постоянный магнит возле того места, где распространяются волны. Мы будем игнорировать эти постоянные поля и положим  и  равными нулю.

Кстати, о равенстве нулю -компонент поля  мы должны были бы заключить и по другой причине. Поскольку дивергенция  равна нулю (по третьему уравнению «Максвелла), то мы, прибегая при рассмотрении электрического поля к тем же доводам, что и выше, должны были бы прийти к выводу, что продольная компонента магнитного поля не может изменяться вдоль . А раз мы такими однородными полями в наших волновых решениях пренебрегаем, то нам следовало бы положить  равным нулю. В плоских электромагнитных волнах поле , равно как и поле , должно быть направлено поперек направления распространения самих волн.

Равенство (20.16) дает нам добавочное утверждение о том, что если электрическое поле имеет только -компоненту, то магнитное поле имеет только -компоненту. Значит,  и  перпендикулярны друг другу. Именно это и наблюдалось в той волне особого типа, которую мы уже рассмотрели.

Теперь мы готовы использовать последнее из уравнений Максвелла для пустого пространства [т. е. IV из (20.12)]. Расписывая покомпонентно, имеем

                     (20.17)

Из шести производных от компонент  только  не равна нулю. Так что три уравнения просто дают

.                     (20.18)

Итог всей нашей деятельности состоит в том, что отличны от нуля только по одной компоненте электрического и магнитного полей и эти компоненты обязаны удовлетворять уравнениям (20.16) и (20.18). Эти два уравнения можно объединить в одно, если первое из них продифференцировать по , а второе – по ; тогда левые стороны уравнений совпадут (с точностью до множителя ). И мы обнаруживаем, что  подчиняется уравнению

.             (20.19)

Мы уже встречали это дифференциальное уравнение, когда изучали распространение звука. Это волновое уравнение для одномерных волн.

Заметьте, что в процессе вывода мы получили больше, чем содержится в (20.11). Уравнения Максвелла дали нам информацию и о том, что у электромагнитных волн есть только компоненты поля, расположенные под прямым углом к направлению распространения волн.

Вспомним все, что нам известно о решениях одномерного волнового уравнения. Если какая-то величина  удовлетворяет одномерному волновому уравнению

,                (20.20)

то одним из возможных решений является функция , имеющая вид

,               (20.21)

т. е. функция одной-единственной переменной . Функция  представляет собой «жесткое» образование вдоль оси , которое движется по направлению к положительным  со скоростью  (фиг. 20.4). Так, если максимум функции  приходится на нулевое значение аргумента, то при  максимум  оказывается при . В более поздний момент, скажем при , максимум  окажется в точке . Когда время движется, максимум тоже движется в сторону возрастания  со скоростью .

Фиг. 20.4. Функция  представляет неизменный контур, движущийся в направлении возрастания  со скоростью .

Порой удобнее считать, что решение одномерного волнового уравнения является функцией от . Однако в сущности это одно и то же, потому что любая функция от  - это также функция от :

.

Покажем, что  действительно есть решение волнового уравнения. Поскольку  зависит лишь от одной переменной - переменной , то мы будем через  обозначать производную  по этой переменной, а через  - вторую производную.

Дифференцируя (20.21) по , получаем

,

потому что производная от  по  равна единице. Вторая производная  по  равна

.                 (20.22)

А производные  по  дают

                       (20.23)

Мы убеждаемся, что  действительно удовлетворяет одномерному волновому уравнению.

Вы недоумеваете: «Откуда же вы взяли, что решением волнового уравнения является ? Мне эта проверка задним числом совсем не нравится. Нет ли прямого пути отыскать решение?» Хорошо, вот вам прямой путь: знать решение. Можно, конечно, «испечь» по всей науке прямые математические аргументы, тем более, что мы знаем, каким должно быть решение, но с таким простым, как у нас, уравнением игра не стоит свеч. Со временем вы сами дойдете до того, что, как только увидите уравнение (20.20), тут же будете представлять себе  в качестве решения. (Подобно тому, как сейчас при виде интеграла от  у вас сразу всплывает ответ .)

На самом деле вы должны представлять себе немножко больше. Решением является не только любая функция от , но и функция от . Из-за того что в волновом уравнении  встречается только в виде , изменение знака  ничего не меняет. И действительно, самое общее решение одномерного волнового уравнения - это сумма двух произвольных функций, одной от аргумента , а другой от :

.                 (20.24)

Первое слагаемое дает волну, движущуюся по направлению к положительным , второе - произвольную волну, бегущую к отрицательным . Общее решение получается наложением двух таких волн, существующих одновременно.

Следующий забавный вопрос решите сами. Возьмем функцию  в виде

.

Эта функция не имеет вида  или . Но прямой подстановкой в (20.20) легко убедиться, что она удовлетворяет волновому уравнению. Но как же мы тогда смеем говорить, что общее решение имеет вид (20.24)?

Применяя эти выводы о решении волнового уравнения к -компоненте электрического поля , мы заключаем, что  может меняться по  произвольным образом. Всякое поле, которое существует в самом деле, можно всегда рассматривать как сумму двух картин. Одна волна плывет через пространство в каком-то направлении со скоростью , причем связанное с нею магнитное поле перпендикулярно к электрическому; другая волна бежит в противоположном направлении с той же скоростью. Такие волны отвечают хорошо нам известным электромагнитным волнам - свету, радиоволнам, инфракрасному излучению, ультрафиолету, рентгеновским лучам и т. д. Мы уже изучали очень подробно излучение света. Так как все, чему мы тогда научились, применимо к любым электромагнитным волнам, то теперь нет нужды рассматривать подробно поведение этих волн.

Пожалуй, стоит лишь сделать несколько замечаний о поляризации электромагнитных волн. Раньше мы решили рассмотреть частный случай электрического поля с одной только -компонентой. Имеется, конечно, и другое решение для волн, бегущих в направлении  или , т. е. решение, при котором электрическое поле обладает одной лишь -компонентой. Так как уравнения Максвелла линейны, общее решение для одномерных волн, распространяющихся в направлении , есть сумма волн  и волн . Общее решение суммируется следующими формулами:

                      (20.25)

У подобных электромагнитных волн направление вектора  не неизменно: оно как-то произвольно смещается по спирали в плоскости . Но в каждой точке магнитное поле всегда перпендикулярно к электрическому и к направлению распространения.

Если присутствуют только волны, бегущие в одном направлении (скажем, в положительном направлении ), то имеется простое правило, говорящее об относительной ориентации электрического и магнитного полей. Правило состоит в том, что векторное произведение  (которое, как известно, является вектором, поперечным и к , и к ) указывает направление, куда бежит волна. Если  совмещать с  правым поворотом, то вектор поворота показывает направление вектора скорости волны. (Позже мы увидим, что вектор  имеет особый физический смысл: это вектор, описывающий течение энергии в электромагнитном поле.)