§ 4. Сферические волны

Мы видели, что существуют решения волнового уравнения, отвечающие плоским волнам, и что любая электромагнитная волна может быть описана как суперпозиция многих плоских волн. В определенных случаях, однако, удобнее описывать волновое поле в другой математической форме. Я хотел бы сейчас разобрать теорию сферических волн - волн, которые соответствуют сферическим поверхностям, расходящимся из некоторого центра. Когда вы бросаете камень в пруд, то по водной глади побежит рябь в виде круговых волн - это двумерные волны. Сферические волны похожи на них, только распространяются они во всех трех измерениях.

Прежде чем начать описание сферических волн, немного займемся математикой. Пусть имеется функция, зависящая только от радиального расстояния  точки от начала координат, иными словами, сферически симметричная функция. Обозначим ее , где под  подразумевается

,

т. е. расстояние от начала координат. Чтобы узнать, какие функции  удовлетворяют волновому уравнению, нам понадобится выражение для лапласиана . Значит, нам нужно найти сумму вторых производных  по , по  и по . Через  мы обозначим первую производную  по , а через  - вторую.

Сначала найдем производные по . Первая производная равна

.

Вторая производная по  равна

.

Частные производные  по  можно получить из

,

так что вторая производная  по  принимает вид

.                        (20.28)

Точно так же и

,                       (20.29)

.                        (20.30)

Лапласиан равен сумме этих трех производных. Вспоминая, что , получаем

.                   (20.31)

Часто бывает удобнее записывать уравнение в следующей форме:

.                (20.32)

Проделав дифференцирование, указанное в (20.32), вы убедитесь, что правая часть здесь та же, что и в (20.31).

Если мы хотим рассматривать сферически симметричные поля, которые могут распространяться как сферические волны, то величины, описывающие поля, должны быть функцией как , так и . Предположим, что нам нужно знать, какие функции  являются решениями трехмерного волнового уравнения

.                      (20.33)

Поскольку  зависит от пространственных координат только через , то в качестве лапласиана можно использовать выражение (20.32). Но для точности, поскольку  зависит также и от , нужно дифференцирование по  записывать в виде частной производной. Волновое уравнение обращается в

.

Его и предстоит нам решать. Оно выглядит сложнее, чем в случае плоских волн. Но заметьте, что если умножить это уравнение на , то получится

.              (20.34)

Это уравнение говорит нам, что функция  удовлетворяет одномерному волновому уравнению по переменной . Используя часто подчеркивавшийся нами общий принцип, что у одних и тех же уравнений и решения одни и те же, мы приходим к выводу, что если  окажется функцией одного только , то оно явится решением уравнения (20.34). Итак, мы обнаруживаем, что сферические волны обязаны иметь вид

.

Или, как мы видели раньше, можно в равной степени считать  имеющим форму

.

Деля на , находим, что характеризующая поле величина  (чем бы она ни была) имеет вид

.                     (20.35)

Такая функция представляет сферическую волну общего вида, распространяющуюся от начала координат со скоростью . Если на минуту забыть об  в знаменателе, то амплитуда волны как функция расстояния от начала координат в каждый данный момент обладает определенной формой, которая распространяется со скоростью . Однако  в знаменателе говорит нам, что по мере того, как волна распространяется, ее амплитуда убывает пропорционально . Иными словами, в отличие от плоской волны, амплитуда которой остается при движении все время одной и той же, амплитуда сферической волны беспрерывно спадает (фиг. 20.6). Этот факт легко понять из простых физических соображений.

Фиг. 20.6. Сферическая волна .

а - зависимость  от  при  и та же волна в более поздний момент времени ; б - зависимость  от  при  и та же самая волна на расстоянии .

Мы знаем, что плотность энергии в волне зависит от квадрата амплитуды волны. По мере того как волна разбегается, ее энергия расплывается на все большую и большую площадь, пропорциональную квадрату радиуса волны. Если полная энергия сохраняется, плотность энергии должна убывать как , а амплитуда - как . Поэтому формула (20.35) для сферической волны вполне «разумна».

Мы игнорировали другое возможное решение одномерного волнового уравнения

или

.

Это тоже сферическая волна, но бегущая внутрь, от больших  к началу координат.

Тем самым мы делаем некоторое специальное предположение. Мы утверждаем (без какого-либо доказательства), что волны, создаваемые источником, всегда бегут только от него. Поскольку мы знаем, что волны вызываются движением зарядов, мы настраиваемся на то, что волны бегут от зарядов. Было бы довольно странно представлять, что прежде чем заряды были приведены в движение, сферическая волна уже вышла из бесконечности и прибыла к зарядам как раз в тот момент, когда они начали шевелиться. Такое решение возможно, но опыт показывает, что, когда заряды ускоряются, волны распространяются от зарядов, а не к ним. Хоть уравнения Максвелла предоставляют обеим волнам равные возможности, мы привлекаем добавочный факт, основанный на опыте, что «физическим смыслом» обладает только расходящаяся волна.

Нужно, однако, заметить, что из этого добавочного предположения вытекает интересное следствие: мы теряем при этом симметрию относительно времени, которая есть у уравнений Максвелла. Как исходные уравнения для  и , так и вытекающиеся из них волновые уравнения при изменении знака  не меняются. Эти уравнения утверждают, что любому решению, которое отвечает волне, бегущей в одну сторону, отвечает столь же правильное решение для волны, бегущей в обратную сторону. И утверждая, что мы намерены брать в расчет только расходящиеся сферические волны, мы делаем тем самым важное дополнительное предположение. (Очень тщательно изучалась такая электродинамика, в которой обходятся без этого дополнительного предположения. Как это ни удивительно, но во многих обстоятельствах она не приводит к физически абсурдным результатам. Однако обсуждение этих идей теперь увлекло бы нас чересчур в сторону. Мы поговорим об этом подробнее в гл. 28.)

Нужно упомянуть еще об одном важном факте. В нашем решении для расходящейся волны (20.35) функция  в начале координат бесконечна. Это как-то необычно. Мы бы предпочли иметь такие волновые решения, которые гладки повсюду. Наше решение физически относится к такой ситуации, когда в начале координат располагается источник. Значит, мы нечаянно сделали одну ошибку: наша формула (20.35) не является решением свободного волнового уравнения (20.33) повсюду; уравнение (20.33) с нулем в правой части решено повсюду, кроме начала координат. Ошибка вкралась оттого, что некоторые действия при выводе уравнения при  «незаконны».

Покажем, что ту же самую ошибку легко сделать и в электростатике. Допустим, что нам нужно решить уравнение электростатического потенциала в пустом пространстве . Лапласиан равен нулю, потому что мы предположили, что никаких зарядов нигде нет. Но как обстоит дело со сферически симметричным решением уравнения, т. е. с функцией , зависящей только от ? Используя для лапласиана формулу (20.32), получаем

.

Умножив это выражение на , приходим к уже интегрировавшемуся уравнению

.

Проинтегрировав один раз по , мы увидим, что первая производная  равна постоянной, которую мы обозначим через :

.

Еще раз проинтегрировав, мы получим для  формулу

,

где  - другая постоянная интегрирования. Итак, мы обнаружили, что решение для электростатического потенциала в пустом пространстве имеет вид

.

Что-то здесь явно не так. Мы же знаем решение для электростатического потенциала в области, где нет электрических зарядов: потенциал всюду постоянен. Это соответствует первому слагаемому в решении. Но имеется еще и второй член, подсказывающий нам, что в потенциал дает вклад нечто, меняющееся как . Мы знаем, однако, что подобный потенциал соответствует точечному заряду в начале координат. Стало быть, хоть мы и думали, что нашли решение для потенциала в пустом пространстве, наше решение фактически дает нам также поле точечного источника в начале координат. Вы замечаете сходство между тем, что сейчас произошло, и тем, что произошло тогда, когда мы искали сферически симметричное решение волнового уравнения? Если бы в начале координат действительно не было ни зарядов, ни токов, то не возникли бы и сферически расходящиеся волны. Сферические волны должны вызываться источниками в начале координат. В следующей главе мы исследуем связь между излучаемыми электромагнитными волнами и вызывающими их токами и напряжениями.