§ 6. Потенциалы заряда, движущегося с постоянной скоростью; формула Лоренца

Применим теперь потенциалы Льенара-Вихерта к случаю заряда, движущегося по прямой с постоянной скоростью, и вычислим поле этого заряда. Позже мы повторим этот вывод, используя уже принцип относительности. Мы знаем величину потенциалов в той системе, в которой заряд покоится. Когда заряд движется, то все получается простым релятивистским преобразованием от одной системы к другой. Но теория относительности ведет свое начало от теории электричества и магнетизма. Формулы преобразований Лоренца [см. гл. 15 (вып. 2)] - это открытия, сделанные Лоренцем при исследовании уравнений электричества и магнетизма. И для того чтобы вы понимали, откуда все пошло, я хочу показать вам, что уравнения Максвелла действительно приводят к преобразованиям Лоренца. Я начну с вычисления потенциала равномерно движущегося заряда прямо из электродинамики, из уравнений Максвелла. Мы уже показали, что уравнения Максвелла приводят к потенциалу, полученному в предыдущем параграфе. Стало быть, пользуясь этими потенциалами, мы используем тем самым теорию Максвелла.

Пусть имеется заряд, движущийся вдоль оси со скоростью (фиг. 21.8). Нас интересуют потенциалы в точке . Если - момент, в который заряд проходит через начало координат, то в момент заряд окажется в точке , . А нам нужно знать его положение с учетом запаздывания, т. е. положение в момент

, (21.35)

где - расстояние от заряда до точки в этот запаздывающий момент. В это более раннее время заряд был в , так что

. (21.36)

Чтобы найти или , это уравнение надо сопоставить с (21.35). Исключим сперва , решив (21.35) относительно и подставив в (21.36). Возвысив затем обе части в квадрат, получим

т. е. квадратное уравнение относительно . Раскрыв скобки и расположив члены по степеням , получим

Отсюда найдем

. (21.37)

Чтобы получить , надо это подставить в

Фиг. 21.8. Определение потенциала в точке заряда, движущегося равномерно вдоль оси .

Теперь мы уже можем найти из выражения (21.33), имеющего вид

(21.38)

(ввиду того, что постоянно).

Составляющая в направлении равна , так что просто равно , а весь знаменатель равен

Подставляя из (21.37), получаем

Это уравнение становится более понятным, если переписать его в виде

. (21.39)

Векторный потенциал - это такое же выражение, но с добавочным множителем :

В выражении (21.39) со всей ясностью предстает перед вами начало преобразований Лоренца. Если бы заряд находился в начале координат в своей собственной системе покоя, то его потенциал имел бы вид

А мы смотрим на него из движущейся системы координат, и нам кажется, что координаты следует преобразовать с помощью формул

Это обычное преобразование Лоренца. Лоренц вывел его тем же самым способом, каким пользовались и мы.

Но что можно сказать о добавочном множителе , который появился перед дробью в (21.39)? И кроме того, как появляется векторный потенциал , если он в системе покоя частицы повсюду равен нулю? Мы вскоре покажем, что и вместе составляют четырехвектор, подобно импульсу и полной энергии частицы. Добавка в (21.39) - это тот самый множитель, который появляется всегда, когда преобразуют компоненты четырехвектора, так же как плотность заряда преобразуется в . Собственно из формул (21.4) и (21.5) почти очевидно, что и суть компоненты одного четырехвектора, потому что в гл. 13 (вып. 5) уже было показано, что и - компоненты четырехвектора.

Позднее мы более подробно разберем относительность в электродинамике; здесь мы хотели только показать, как естественно уравнения Максвелла приводят к преобразованиям Лоренца. Поэтому не надо удивляться, узнав, что законы электричества и магнетизма уже вполне пригодны и для теории относительности Эйнштейна. Их не нужно даже как-то особо подгонять, как это приходилось делать с ньютоновой механикой.