§ 7. Фильтры

В предыдущем параграфе мы видели, что бесконечная лестничная сеть (см. фиг. 22.20) непрерывно поглощает энергию, если эта энергия подводится с частотой, которая ниже некоторого критического значения , называемого граничной частотой . У нас возникла мысль, что этот эффект можно понять, основываясь на представлении о непрерывном переносе энергии вдоль линии. С другой стороны, на высоких частотах (при ) непрерывного поглощения энергии не бывает; тогда следует ожидать, что токи, видимо, не смогут «проникнуть» далеко вдоль линии. Поглядим, верны ли эти представления.

Пусть передний конец лестницы соединен с каким-то генератором переменного тока, и нас интересует, как выглядит напряжение, скажем, в 754-м звене лестницы. Поскольку сеть бесконечна, при переходе от одного звена к другому происходит всегда одно и то же; так что можно просто посмотреть, что случается, когда мы переходим от -го звена к -му. Токи и напряжения мы определим так, как показано на фиг. 22.21,а.

Фиг. 22.21. Нахождение фактора распространения лестницы.

Напряжение можно получить из , если вспомнить, что остаток лестницы (за -м звеном) всегда можно заменить ее характеристическим импедансом ; и тогда достаточно проанализировать только схему фиг. 22.21,б. Мы прежде всего замечаем, что каждое , поскольку это напряжение на зажимах сопротивления , должно быть равно . Кроме того, разность между и равна просто :

Получается отношение

которое можно назвать фактором распространения для одного звена лестницы; обозначим его . Для всех звеньев

, (22.29)

и напряжение за -м звеном равно

. (22.30)

Теперь ничего не стоит найти напряжение за 754-м звеном; оно просто равно произведению на 754-ю степень .

Как выглядит для лестницы на фиг. 22.20,а? Взяв из уравнения (22.27) и , получим

. (22.31)

Если частота на входе ниже граничной частоты , то корень - число действительное, и модули комплексных чисел в числителе и знаменателе одинаковы. Поэтому значение по модулю равно единице; можно написать

а это означает, что величина (модуль) напряжения в каждом звене одна и та же; меняется только фаза. Она меняется на число ; оно на самом деле отрицательно и представляет собой «задержку» напряжения по мере того, как последнее проходит по сети.

А для частот выше граничной частоты лучше вынести в числителе и знаменателе (22.31) множитель и переписать его в виде

. (22.32)

Теперь фактор распространения - число действительное, притом меньшее единицы. Это означает, что напряжение в некотором звене всегда меньше напряжения в предыдущем звене; множитель пропорциональности равен . При частотах выше напряжение быстро спадает по мере движения вдоль сети. Кривая модуля как функции частоты похожа на график, приведенный на фиг. 22.22.

Фиг. 22.22. Фактор распространения одного звена лестницы.

Мы видим, что поведение как выше, так и ниже согласуется с нашим представлением о том, что сеть передает энергию при и задерживает ее при . Говорят, что сеть «пропускает» низкие частоты и «отбрасывает», или «отфильтровывает», высокие. Всякая сеть, устроенная так, чтобы ее характеристики менялись указанным образом, называется «фильтром». Мы проанализировали «фильтр низкого пропускания», или «низких частот».

Вас может удивить - к чему все это обсуждение бесконечных сетей, если на самом деле они невозможны? Но вся хитрость в том и заключается, что те же характеристики вы обнаружите и в конечной сети, если заключите ее импедансом, совпадающим с характеристическим импедансом . Практически, конечно, невозможно точно воспроизвести характеристический импеданс несколькими простыми элементами, такими, как , и . Но в некоторой полосе частот нередко этого можно добиться в хорошем приближении. Этим способом можно сделать конечную фильтрующую сеть со свойствами, очень близкими к тем, которые проявляются в бесконечном фильтре. Скажем, лестница будет во многом вести себя так, как было описано, если на конце ее помещено чистое сопротивление .

А если в нашей лестнице мы поменяем местами и , чтобы получилась лестница, показанная на фиг. 22.23,а, то получится фильтр, который пропускает высокие частоты и отбрасывает низкие. Пользуясь уже полученными результатами, легко понять, что происходит в этой сети. Вы уже, наверно, заметили, что всегда, когда заменяется на и наоборот, то и заменяется на и наоборот. Значит, все, что происходило раньше с , теперь будет происходить с . В частности, можно узнать, как меняется с частотой, взяв фиг. 22.22 и повсюду вместо написав (фиг. 22.23,б).

Фиг. 22.23. Высокочастотный фильтр (а) и его фактор распространения как функция (б).

У описанных фильтров высоких и низких частот есть многочисленные технические приложения. Фильтр низких частот часто используется как «сглаживающий» фильтр в цепях постоянного тока. Если нам нужно получить постоянный ток от источника переменного тока, мы включаем выпрямитель, который позволяет течь току только в одну сторону. Из выпрямителя выходит пульсирующий ток, график которого выглядит как функция , показанная на фиг. 22.24. Постоянство такого тока - никудышное: он шатается вверх и вниз, а нам нужен постоянный ток, чистенький, гладенький, как от батареи аккумуляторов. Этого можно добиться, включив фильтр низких частот между выпрямителем и нагрузкой.

Фиг. 22.24. Напряжение на выходе всеволнового выпрямителя.

Из гл. 50 (вып. 4) мы уже знаем, что временная функция на фиг. 22.24 может быть представлена в виде наложения постоянного напряжения на синусную волну плюс синусную волну большей частоты плюс еще более высокочастотную синусоиду и т. д., т. е. как ряд Фурье. Если наш фильтр - линейный (т. е. если, как мы предполагали, и при изменении токов или напряжений не меняются), то то, что выходит из фильтра, представляет собой тоже наложение выходов от каждой компоненты на входе. Если устроить так, чтобы граничная частота нашего фильтра была значительно ниже наинизшей из частот функции , то постоянный ток (у которого ) прекрасно пройдет через фильтр, а амплитуда первой гармоники будет крепко срезана; ну, а амплитуды высших гармоник - тем более. Значит, на выходе можно получить какую угодно гладкость, смотря по тому, на сколько звеньев фильтра у вас хватит денег.

Высокочастотный фильтр нужен тогда, когда необходимо срезать некоторые низкие частоты. Например, в граммофонном усилителе высокочастотный фильтр можно использовать, чтобы музыка не искажалась: он задержит низкочастотное громыхание моторчика и диска.

Можно еще делать и «полосовые» фильтры, отбрасывающие частоты ниже некоторой частоты и частоты выше некоторой другой частоты (большей ), но зато пропускающие все частоты от до . Это можно сделать просто, совместив высокочастотный и низкочастотный фильтры, но обычно делают лестничную схему, в которой импедансы и имеют более сложный вид - они сами суть комбинации и . У такого полосового фильтра постоянная распространения может выглядеть так, как на фиг. 22.25,а. Его можно использовать, скажем, чтобы отделять сигналы, которые занимают только некоторый интервал частот, например каждый из каналов телефонной связи в высокочастотном телефонном кабеле или модулированную несущую частоту при радиопередаче.

Фиг. 22.25. Полосовой фильтр (а) и простой резонансный фильтр (б).

В гл. 25 (вып. 2) мы видели, что такое фильтрование можно производить еще, используя избирательность обычной резонансной кривой (для сравнения она приведена на фиг. 22.25,б). Но резонансный фильтр для некоторых целей подходит хуже, чем полосовой. Вы помните (это было в гл. 48, вып. 4), когда несущая частота модулирована «сигнальной» частотой , то общий сигнал содержит не только несущую, но и две боковые частоты и . В резонансном фильтре эти боковые полосы всегда как-то ослабляются, и чем выше сигнальная частота, тем, как видно из рисунка, больше это ослабление. Поэтому «отклик на частоту» здесь неважный. Высшие музыкальные тоны и вовсе не проходят. Но если взять полосовой фильтр, устроенный так, что ширина по крайней мере вдвое больше наивысшей сигнальной частоты, то отклик на частоту будет для интересующих нас сигналов плоским.

Еще одно замечание о лестничном фильтре: лестница на фиг. 22.20 - это также приближенное представление передающей линии (фидера). Если имеется длинный проводник, расположенный параллельно другому проводнику (скажем, провод, помещенный в коаксиальном кабеле или подвешенный над землей), то между ними существует какая-то емкость и некоторая индуктивность (из-за магнитного поля между ними). Если представить эту линию составленной из небольших участков , то каждый участок похож на одно звено лестницы с последовательной индуктивностью и шунтирующей емкостью . Поэтому мы вправе применять здесь наши результаты для лестничного фильтра. Перейдя к пределу при , мы получим хорошее описание передающей линии. Заметьте, что, когда становится все меньше и меньше, уменьшаются и и , но они уменьшаются в одной и той же пропорции, так что отношение не падает. Поэтому, перейдя в уравнении (22.28) к пределу при и , стремящихся к нулю, мы увидим, что характеристический импеданс - это чистое сопротивление, величина которого равна . Отношение можно записать также в виде , где и - индуктивность и емкость единицы длины линии; тогда

. (22.33)

Заметьте еще, что, когда и стремятся к нулю, граничная частота уходит в бесконечность. У идеальной передающей линии нет граничной частоты.