§ 2. Конденсатор на больших частотах

А теперь обсудим подробнее поведение конденсатора - геометрически идеального конденсатора, - когда частота становится все выше и выше. Мы проследим за изменением его свойств. (Мы предпочли рассматривать конденсатор, а не индуктивность, потому что геометрия пары обкладок много проще геометрии катушки.) Итак, вот конденсатор (фиг. 23.4,а), состоит он из двух параллельных круговых обкладок, соединенных с внешним генератором парой проводов. Если зарядить конденсатор постоянным током, то на одной из обкладок появится положительный заряд, на другой - отрицательный, а между обкладками будет однородное электрическое поле.

Фиг. 23.4. Электрическое и магнитное поля между обкладками конденсатора.

Представим теперь, что вместо постоянного тока к обкладкам приложено переменное напряжение низкой частоты. (После мы увидим, какая частота «низкая», а какая «высокая».) Конденсатор, скажем, соединен с низкочастотным генератором. Когда напряжение меняется, то с верхней обкладки положительный заряд убирается и прикладывается отрицательный. В момент, тогда это происходит, электрическое поле исчезает, а потом восстанавливается, но уже в обратную сторону. Заряд медленно плещется туда-сюда, и поле поспевает за ним. В каждый момент электрическое поле однородно (фиг. 23.4,б); есть, правда, небольшие краевые эффекты, но мы намерены ими пренебречь. Величину электрического поля можно записать в виде

,                 (23.2)

где  - постоянно.

Но останется ли это справедливым, когда частота возрастет? Нет, потому что при движении электрического поля вверх и вниз через произвольную петлю  проходит поток электрического поля (фиг. 23.4,а). А, как вам известно, изменяющееся электрическое поле создает магнитное. Согласно одному из уравнений Максвелла, при наличии изменяющегося электрического поля (как в нашем случае) обязан существовать и криволинейный интеграл от магнитного поля. Интеграл от магнитного поля по замкнутому кругу, умноженный на , равен скорости изменения во времени электрического потока через поверхность внутри круга (если нет никаких токов):

.                     (23.3)

Итак, сколько же здесь этого магнитного поля? Это узнать нетрудно. Возьмем в качестве петли  круг радиуса . Из симметрии ясно, что магнитное поле идет так, как показано на рисунке. Тогда интеграл от  равен . А поскольку электрическое поле однородно, то поток его равен просто , умноженному на , на площадь круга:

.                       (23.4)

Производная  по времени в нашем переменном поле равна . Значит, в нашем конденсаторе магнитное поле равно

.                      (23.5)

Иными словами, магнитное поле тоже колеблется, а его величина пропорциональна  и .

К какому эффекту это приведет? Когда существует магнитное поле, которое меняется, то возникнут наведенные электрические поля, и действие конденсатора станет слегка похоже на индуктивность. По мере роста частоты магнитное поле усиливается: оно пропорционально скорости изменения , т. е. . Импеданс конденсатора больше не будет просто равен .

Будем увеличивать частоту и посмотрим повнимательнее, что происходит. У нас есть магнитное поле, которое плещется то туда, то сюда. Но тогда и электрическое поле не может, как мы раньше предполагали, остаться однородным! Если имеется изменяющееся магнитное поле, то по закону Фарадея должен существовать и контурный интеграл от электрического поля. Так что если существует заметное магнитное поле (а так и бывает на высоких частотах), то электрическое поле не может быть на всех расстояниях от центра одинаковым. Оно должно так меняться с , чтобы криволинейный интеграл от него мог быть равен изменяющемуся потоку магнитного поля.

Посмотрим, сможем ли мы представить себе правильное электрическое поле. Это можно сделать, подсчитав «поправку» к тому, что было на низких частотах, - к однородному полю. Обозначим поле при низких частотах через , и пусть оно по-прежнему равно , а правильное поле запишем в виде

,

где  - поправка из-за изменения магнитного поля. При любых  мы будем задавать поле в центре конденсатора в виде  (тем самым определяя ), так что в центре поправки не будет:  при .

Чтобы найти , можно использовать интегральную форму закона Фарадея

.

Интегралы берутся просто, если вычислять их вдоль линии , показанной на фиг. 23.4,б и идущей сперва по оси, затем по радиусу вдоль верхней обкладки до расстояния , потом вертикально вниз на нижнюю обкладку и обратно к оси по радиусу. Контурный интеграл от  вдоль этой кривой, конечно, равен нулю; значит, в интеграл дает вклад только , и интеграл равен просто , где  - зазор между обкладками. (Мы считаем  положительным, когда оно направлено вверх.) Это равно скорости изменения потока , который получится, если вычислить интеграл по заштрихованной площади  внутри  (фиг. 23.4,б). Поток через вертикальную полосу шириной  равен , а суммарный поток

.

Полагая  от потока равным контурному интегралу от , получаем

.                        (23.6)

Заметьте, что  выпало: поля не зависят от величины зазора между обкладками.

Используя для  формулу (23.5), получаем

.

Дифференцирование по времени даст нам просто еще один множитель :

.                      (23.7)

Как и ожидалось, наведенное поле стремится свести на нет первоначальное электрическое поле. Исправленное поле  тогда равно

.               (23.8)

Электрическое поле в конденсаторе больше уже не однородно; оно имеет параболическую форму (штриховая линия на фиг. 23.5). Вы видите, что наш простенький конденсатор уже слегка усложняется.

Фиг. 23.5. Электрическое поле между обкладками конденсатора на высоких частотах.

Краевыми эффектами пренебрегли.

Наши результаты можно использовать для того, чтобы подсчитать импеданс конденсатора на больших частотах. Зная электрическое поле, можно подсчитать заряд обкладок и узнать, как ток через конденсатор зависит от частоты . Но эта задача нас сейчас не интересует. Нас больше интересует другое: что станется, если частота будет продолжать повышаться, что произойдет на еще больших частотах? Но разве мы уже не кончили наш расчет? Нет, потому что раз мы исправили электрическое поле, то, значит, магнитное поле, которое мы раньше подсчитали, больше уже не годится. Приближенно магнитное поле (23.5) правильно, но только в первом приближении. Обозначим его , а (23.5) перепишем в виде

.                     (23.9)

Вспомните, что это поле появилось от изменения . А правильное магнитное поле будет создаваться изменением суммарного электрического поля . Если магнитное поле представить в виде , то второе слагаемое - это просто добавочное поле, создаваемое полем . Чтобы узнать , надо повторить все те же рассуждения, которые приводились, когда подсчитывали : контурный интеграл от  вдоль кривой равен скорости изменения потока  через . Опять получится то же уравнение (23.4), но  в нем надо заменить на , а  - на :

.

Поскольку  с радиусом меняется, то для получения его потока надо интегрировать по круговой поверхности внутри . Беря в качестве элемента площади , напишем этот интеграл в виде

.

Значит,  выразится так:

.              (23.10)

Подставляя сюда  из (23.7), получаем интеграл от , который равен, очевидно, . Наша поправка к магнитному полю окажется равной

.                     (23.11)

Но мы еще не кончили! Раз магнитное поле  вовсе не такое, как мы сперва думали, то мы, значит, неверно подсчитывали . Надо найти еще поправку к , вызываемую добавочным магнитным полем . Эту добавочную поправку к электрическому полю назовем . Она связана с магнитным полем  так же, как  была связана с . Можно опять прибегнуть к тому же самому соотношению (23.6), изменив в нем только индексы:

.                       (23.12)

Подставляя сюда наш новый результат (23.11), получаем новую поправку к электрическому полю:

.                      (23.13)

Если теперь наше дважды исправленное поле записать в виде , то мы получим

.             (23.14)

Изменение электрического поля с радиусом происходит уже не по параболе, как было на фиг. 23.5; на больших радиусах значение поля лежит чуть выше кривой .

Мы пока еще не дошли до конца. Новое электрическое поле вызовет новую поправку к магнитному полю, а заново подправленное магнитное поле вызовет необходимость дальнейшей поправки к электрическому и т. д. и т. д. Но у нас уже есть все нужные формулы. Для  можно использовать (23.10), изменив индексы при  и  с 2 до 3.

Очередная поправка к электрическому полю равна

.

С этой степенью точности все электрическое поле дается, стало быть, формулой

,                 (23.15)

где численные коэффициенты написаны в таком виде, что становится ясно, как продолжить ряд.

Окончательно получается, что электрическое поле между обкладками конденсатора на любой частоте дается произведением  на бесконечный ряд, который содержит только переменную . Можно, если мы захотим, определить специальную функцию, обозначив ее через , как бесконечный ряд в скобках формулы (23.15):

.                    (23.16)

Тогда искомое решение есть произведение  на эту функцию при :

.               (23.17)

Мы обозначили нашу специальную функцию через  потому, что, естественно, не мы первые с вами занялись задачей колебаний в цилиндре. Функция эта появилась давным-давно, и ее уже привыкли обозначать . Она всегда возникает, когда вы решаете задачу о волнах, обладающих цилиндрической симметрией. Функция  по отношению к цилиндрическим волнам - это то же, что косинус по отношению к прямолинейным волнам. Итак, это очень важная функция. И изобретена она очень давно. Затем с нею связал свое имя математик Бессель. Индекс нуль означает, что Бессель изобрел целую кучу разных функций, а наша - самая первая из них.

Другие функции Бесселя - ,  и т. д. - относятся к цилиндрическим волнам, сила которых меняется при обходе вокруг оси цилиндра.

Полностью скорректированное электрическое поле между обкладками нашего кругового конденсатора, даваемое формулой (23.17), изображено на фиг. 23.5 сплошной линией. Для не очень больших частот нашего второго приближения вполне хватает. Третье приближение было бы еще лучше - настолько хорошо, что если его начертить, то вы бы не заметили разницы между ним и сплошной линией. В следующем параграфе вы увидите, однако, что может понадобиться и весь ряд, чтобы получилось аккуратное описание поля на больших радиусах или на больших частотах.