§ 3. Граничная частота

Уравнение (24.16) для  на самом деле имеет два корня - один с плюсом, другой с минусом. Ответ следует писать так:

.                  (24.20)

Смысл этих двух знаков просто в том, что волны в волноводе могут бежать и с отрицательной фазовой скоростью (в направлении ), и с положительной. Волны, естественно, должны иметь возможность бежать в любую сторону. И раз одновременно могут существовать оба типа волн, то решение в виде стоячих волн тоже возможно.

Наше уравнение для  сообщает нам также, что высшие частоты приводят к большим значениям , т. е. к более коротким волнам, пока в пределе больших  величина  не станет равной  - тому значению, которое бывает, когда волна бежит в пустоте. Свет, который мы «видим» сквозь трубу, все еще бежит со скоростью . Но посмотрите зато, какая странная вещь получается, когда частота убывает. Сперва волны становятся все длиннее и длиннее. Но если частота  станет чересчур малой, то под корнем в (24.20) внезапно появится отрицательное число. Это произойдет, когда  перевалит через  или когда  станет больше . Иначе говоря, когда частота становится меньше некоторой критической частоты , волновое число  (а также ) становится мнимым и никакого решения у нас не остается. Или остается? Кто, собственно, сказал, что  должно быть действительным? Что случится, если оно станет мнимым? Уравнения-то поля по-прежнему ведь будут удовлетворяться. Может быть, и мнимые  тоже представляют какую-то волну?

Предположим, что  действительно меньше ; тогда можно написать

,                   (24.21)

где  - действительное положительное число:

.                     (24.22)

Если теперь вернуться к нашей формуле (24.12) для , то надо будет написать

,                   (24.23)

что можно также представить в виде

.                    (24.24)

Это выражение приводит к полю , которое во времени колеблется как , а по  меняется как . Оно плавно убывает или возрастает с , как всякая действительная экспонента. В нашем выводе мы не думали о том, откуда взялись волны, где их источник, но, конечно, где-то в волноводе он должен быть. И знак, который стоит при  должен быть таков, чтобы поле убывало при удалении от источника волн.

Итак, при частотах ниже  волны вдоль трубы не распространяются; осциллирующее поле проникает в трубу лишь на расстояние порядка . По этой причине частоту  называют «граничной частотой» волновода. Глядя на (24.22), мы видим, что для частот чуть пониже  число  мало, и поля могут проникать в трубу довольно далеко. Но если  намного меньше , коэффициент  в экспоненте равняется , и поле отмирает чрезвычайно быстро (фиг. 24.7). Поле убывает в  раз на расстоянии , т. е. на трети ширины волновода. Поля проникают в волновод на очень малое расстояние от источника.

Фиг. 24.7. Изменение  с ростом  при .

Мы хотим еще раз подчеркнуть эту характерную черту нашего анализа прохождения волн по трубе - появление мнимого волнового числа . Когда, решая уравнение в физике, мы получаем мнимое число, то это обычно ничего физического не означает. Для волн, однако, мнимое волновое число действительно нечто означает. Волновое уравнение по-прежнему удовлетворяется; оно только означает, что решение приводит к экспоненциально убывающему полю вместо распространяющихся волн. Итак, если в любой задаче на волны  при какой-то частоте становится мнимым, это означает, что форма волны меняется - синусоида переходит в экспоненту.