Глава 25. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА В РЕЛЯТИВИСТСКИХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ

§ 1. Четырехвекторы

В этой главе мы рассмотрим применение специальной теории относительности к электродинамике. Мы изучали теорию относительности довольно давно (гл. 15-17, вып. 2), поэтому я здесь коротко напомню основные идеи.

Экспериментально установлено, что законы физики при равномерном движении не изменяются. Если вы находитесь внутри звездолета, летящего с постоянной скоростью по прямой линии, то не можете установить самого факта движения корабля: для этого надо выглянуть наружу или по крайней мере провести какие-то наблюдения, связанные с внешним миром. Любой написанный нами истинный закон физики должен быть сформулирован так, чтобы этот факт природы был «встроен» в него.

Соотношение между пространством и временем в двух системах координат (одна из которых  равномерно движется относительно другой  в направлении оси  со скоростью ) определяется преобразованиями Лоренца:

                       (25.1)

Законы физики должны быть таковы, чтобы после преобразований Лоренца они в новой форме выглядели абсолютно так же, как и раньше. Это в точности напоминает принцип независимости законов физики от ориентации нашей системы координат. В гл. 11 (вып. 1) мы видели, что способом математического описания этой инвариантности относительно вращения является запись уравнений в векторном виде.

Там мы обнаружили, что если, скажем, взять два вектора

 и ,

то комбинация

при повороте системы координат не меняется. Таким образом, если с обеих сторон уравнения мы видим скалярное произведение, подобное , то уравнение будет иметь в точности ту же форму в любой повернутой системе координат. Кроме того, мы открыли оператор (см. гл. 2)

,

который, будучи применен к скалярной функции, дает три величины, преобразующиеся в точности как вектор. С помощью этого оператора был определен градиент, а в комбинации с другими векторами - дивергенция и лапласиан. И, наконец, мы обнаружили, что, составляя суммы некоторых попарных произведений компонент двух векторов, можно получить три величины, которые ведут себя подобно новому вектору. Мы назвали это векторным произведением двух векторов. Используя затем векторное произведение с оператором , мы определили ротор вектора. В дальнейшем нам часто придется ссылаться на то, что было нами сделано в векторном анализе, поэтому все важнейшие векторные операции в трехмерном пространстве, которые использовались в прошлом, мы собрали в табл. 25.1.

Таблица 25.1 ВАЖНЕЙШИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ОПЕРАТОРЫ ТРЕХМЕРНОГО ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

Определение вектора
Скалярное произведение
Векторный дифференциальный оператор
Градиент
Дивергенция
Лапласиан
Векторное произведение
Ротор

Пользуясь ею, можно так записать любое уравнение физики, что обе его части преобразуются при вращениях одинаковым образом. Если одна его часть - вектор, то вектором должна быть и другая часть, и обе они при вращении системы координат изменяются в точности одинаково. Аналогично, если одна часть скаляр, то скаляром должна быть и другая часть, так что ни та, ни другая не изменяется при вращении системы координат и т. д.

В теории относительности пространство и время неразделимо связаны друг с другом, поэтому то же самое придется проделать и для четырех измерений. Мы хотим, чтобы наши уравнения оставались неизменными не только при вращениях, но и при переходе в любую инерциальную систему. Это означает, что наши уравнения должны быть инвариантными относительно преобразований Лоренца (25.1). Цель настоящей главы - показать, как этого можно добиться. Но прежде чем начать, примем соглашение, которое значительно облегчит нашу работу (и к тому же поможет избежать путаницы). Заключается оно в таком выборе единиц измерения длины и времени, чтобы скорость света  оказалась равной единице. Вы можете считать, например, что в качестве единицы времени взят интервал, за который свет проходит отрезок в один метр (это составляет около  сек). Можно даже так и назвать эту единицу времени: «один световой метр». Использование этой единицы еще ярче оттеняет симметрию пространства и времени. Кроме того, из наших релятивистских уравнений исчезнут все . (Если это почему-либо вас смущает, то вы можете в любом уравнении восстановить их или заменить каждое  на , а еще лучше вставить  повсюду, где это необходимо для правильной размерности уравнения.) Теперь, после такой подготовки, мы можем двинуться дальше.

Наша программа состоит в том, чтобы повторить в четырехмерном пространстве-времени все. то, что мы делали с векторами в трех измерениях. Дело это нехитрое - мы просто будем действовать аналогично. Единственное затруднение встретится только при обозначениях (символ вектора у нас уже занят трехмерными векторами), и несколько изменятся знаки в скалярном произведении.

Прежде всего, по аналогии с векторами в трехмерном пространстве, введем четырехвектор как набор четырех величин , ,  и , которые при переходе в движущуюся систему координат преобразуются подобно , ,  и . Для обозначения четырехвектора используется несколько различных способов. Мы же будем писать просто , понимая под этим группу четырех величин ; другими словами, значок  принимает какое-либо из четырех «значений»: , ,  и . Иногда нам будет удобно обозначать три пространственные компоненты в виде трехмерного вектора, т. е. писать .

Мы уже сталкивались с одним таким четырехвектором, состоящим из энергии и импульса частицы (см. гл. 17, вып. 2). В наших новых обозначениях он запишется так:

,              (25.2)

т. е. четырехвектор  состоит из энергии  и трех компонент трехмерного импульса частицы .

Похоже, что игра действительно оказывается нехитрой: единственное, что мы должны сделать, - это найти для каждого трехмерного вектора недостающую компоненту и получить четырехвектор. Однако все же эта задача потруднее, чем кажется на первый взгляд. Возьмем, например, вектор скорости с компонентами

.

Что будет его временной компонентой? Инстинкт подсказывает нам, что поскольку четырехвектор подобен , , , , то временной компонентой как будто должно быть

.

Но это неверно. Дело в том, что время  в каждом знаменателе не инвариантно при преобразованиях Лоренца. Числитель имеет правильное поведение, a  в знаменателе портит все дело: оно не одинаково в двух различных системах.

Оказывается, что четыре компоненты «скорости», которые нам нужно выписать, превратятся в компоненты четырехвектора, если мы попросту поделим их на . В правильности этого можно убедиться, взяв четырехвектор импульса

                 (25.3)

и поделив его на массу покоя, которая в четырехмерном пространстве является скаляром. Мы получим при этом

,                 (25.4)

что по-прежнему должно быть четырехвектором. (Деление на скаляр не изменяет трансформационных свойств.) Так что четырехвектор скорости и можно определить так:

                       (25.5)

Это очень полезная величина; мы можем теперь написать, например,

.                (25.6)

Таков типичный вид, который должен иметь правильное релятивистское уравнение: каждая сторона его должна быть четырехвектором. (В правой части стоит произведение инварианта на четырехвектор, которое по-прежнему есть четырехвектор.)