§ 6. Импульс поля

Теперь мне бы хотелось поговорить об импульсе поля. Поле обладает энергией; точно так же в единице объема оно обладает каким-то импульсом. Обозначим плотность импульса через . Импульс, разумеется, может иметь различные направления, поэтому  должно быть вектором. Временно мы будем говорить об одной компоненте и для начала возьмем -компоненту. Поскольку любая компонента импульса сохраняется, то мы можем сразу написать закон примерно такого вида:

.

Левая часть тривиальна. Скорость изменения импульса вещества равна просто действующей на него силе. Для частиц , а для распределенных зарядов на единицу объема действует сила . Однако слагаемое «поток импульса» несколько странно. Оно не может быть дивергенцией какого-то вектора, ибо это не скаляр, а скорее -компонента некоторого вектора. Но как бы то ни было оно должно иметь вид

,

поскольку -компонента импульса должна течь в каком-либо из трех направлений. Во всяком случае, каковы бы ни были ,  и , такая комбинация предполагается равной потоку -компоненты импульса.

Дальше по правилам той же самой игры напишем  только через  и , исключив плотность заряда  и плотность тока  и затем жонглируя слагаемыми и произведя подстановку, получаем

.

Сопоставляя затем разные слагаемые, мы должны найти выражения для , ,  и . В общем, здесь масса работы, но мы не собираемся заниматься ею. Вместо этого мы найдем только выражение для плотности импульса  и притом совсем другим способом.

В механике есть очень важная теорема, которая говорит: каков бы ни был поток энергии любого вида (энергия поля или какой-то другой сорт энергии), произведение ее количества, прошедшего через единицу площади в единицу времени, на  равно импульсу в единице объема пространства. В случае электродинамики эта теорема говорит, что  равно вектору Пойнтинга, поделенному на :

.                   (27.21)

Так что вектор Пойнтинга дает нам не только поток энергии, но после деления на  и плотность импульса. Этот же результат получился бы из анализа, который мы только что предполагали проделать, однако более заманчиво воспользоваться общей теоремой. Сейчас мы рассмотрим несколько интересных примеров и рассуждений, призванных убедить вас в справедливости этой общей теоремы.

Первый пример: возьмем множество заключенных в ящик частиц. Пусть, скажем, их будет  штук на кубический метр, и пусть они движутся вдоль ящика со скоростью . Рассмотрим теперь воображаемую плоскость, перпендикулярную к . Поток энергии через единицу площади этой плоскости в секунду равен  (т. е. числу частиц, пересекающих плоскость за секунду), умноженному на энергию каждой частицы. Энергия же каждой частицы будет . Так что поток энергии равен

.

Но импульс каждой частицы равен , откуда плотность импульса будет

,

что в полном согласии с теоремой как раз равно  на поток энергии. Таким образом, для пучка частиц теорема оказывается верной.

Верна она и для света. При изучении света (см. вып. 3) мы установили, что, когда происходит поглощение света, поглотителю передается некоторое количество импульса. Действительно, в гл. 34 (вып. 3) мы видели, что импульс равен поглощенной энергии, деленной на  [уравнение в (34.24)]. Пусть  будет энергией, падающей в секунду на единичную площадь, тогда переданный той же поверхности за то же время импульс равен . Но импульс распространяется со скоростью , так что его плотность перед поглотителем должна быть равна . Теорема снова справедлива.

Наконец, я приведу рассуждение Эйнштейна, которое еще раз продемонстрирует то же самое утверждение. Предположим, у нас есть вагон с какой-то большой массой , который может без трения катиться по рельсам. В одном его конце расположено устройство, способное «выстреливать» какие-то частицы или световой импульс (совершенно безразлично, чем оно стреляет), которые ударяются о противоположный конец вагона. Следовательно, некоторое количество энергии, скажем , находившееся первоначально на одном конце (фиг. 27.7,а), перелетает на противоположный конец (фиг. 27.7,в). Таким образом, энергия  перемещается на расстояние, равное длине вагона . Этой энергии  соответствует масса , так что если вагон вначале стоял, то его центр масс должен передвинуться. Эйнштейну не понравилось заключение о том, что центр масс предмета можно переместить какими-то манипуляциями внутри него. Он считал, что никакие внутренние действия не могут изменить центр масс. Но если это так, то при перемещении энергии  с одного конца на другой сам вагон должен откатиться на расстояние  (фиг. 27.7,в). В самом деле, нетрудно убедиться, что полная масса вагона, умноженная на , должна быть равна произведению перемещенной энергии  на длину  (при условии, что  много меньше ), т. е.

.                 (27.22)

Фиг. 27.7. Порция энергии , двигаясь со скоростью , несет импульс, равный .

Теперь рассмотрим конкретный случай, когда энергия переносится вспышкой света. (Все рассуждения можно повторить и для частиц, но мы будем следовать за Эйнштейном, который интересовался проблемами света.) Что заставляет вагон двигаться? Эйнштейн рассуждал так: при испускании света должна быть отдача, какая-то неизвестная отдача с импульсом . Именно она заставляет вагон откатиться назад. Скорость вагона  при такой отдаче должна быть равна импульсу отдачи, поделенному на массу :

.

Вагон движется с этой скоростью до тех пор, пока свет не достигнет противоположного конца. Ударяясь, свет отдает импульс вагону и останавливает его. Если  мало, то время, в течение которого вагон движется, равно , так что мы получаем

.

Подставляя  в (27.22), находим

.

Снова получилось соотношение между энергией и импульсом света. Деля это на , находим плотность импульса , и опять

.                      (27.23)

Вас может удивить, так ли уж важна теорема о центре масс. Может быть, она нарушается? Возможно, но тогда вы теряете и закон сохранения момента количества движения. Предположим, что наш вагончик движется по рельсам с некоторой скоростью , и мы «выстреливаем» какое-то количество световой энергии от потолка к полу, например из точки  в точку  (фиг. 27.8). Посмотрим теперь на момент количества движения относительно точки . До того как порция энергии  покинула точку , у нее была масса  и скорость , так что ее момент количества движения был равен . Когда же она прилетела в точку , масса ее остается прежней, и если импульс всего вагона не изменился, то она по-прежнему должна иметь скорость . Однако момент количества движения относительно точки  будет уже . Таким образом, если вагону при излучении света не передается никакого импульса, т. е. если свет не переносит импульса , то момент количества движения должен измениться. Оказывается, что в теории относительности сохранение момента количества движения и теорема о центре масс тесно связаны между собой. И если неверна теорема, то нарушается и закон сохранения момента количества движения. Во всяком случае, общий закон должен быть справедлив и для электродинамики, так что им можно воспользоваться для получения импульса поля.

Фиг. 27.8. Для сохранения момента количества движения относительно точки  порция энергии  должна нести импульс .

Упомянем еще о двух примерах импульса в электромагнитном поле. В гл. 26, §2, мы говорили о нарушении закона действия и противодействия для двух заряженных частиц, движущихся перпендикулярно друг другу. Силы, действующие на эти частицы, не уравновешивают друг друга, так что действие и противодействие оказываются неравными, а полный импульс вещества поэтому должен изменяться. Он не сохраняется. Но в такой ситуации изменяется и импульс поля. Если вы рассмотрите величину импульса, задаваемую вектором Пойнтинга, то она оказывается непостоянной. Однако изменение импульса частицы в точности компенсируется импульсом поля, так что полный импульс частиц и поля все же сохраняется.

Второй наш пример - система заряда и магнита, изображенная на фиг. 27.6. К своему огорчению, мы обнаружили, что в этом примере энергия «бегает по кругу», но, как нам теперь известно, поток энергии и импульса пропорциональны друг другу, поэтому здесь мы имеем дело с циркуляцией импульса. Но циркуляция импульса означает наличие момента количества движения. Поле обладает моментом количества движения. Помните парадокс с соленоидом и зарядами на диске, описанный в гл. 17, §4? Казалось, что при включении тока весь диск должен начать крутиться.

Остается загадка, откуда возникает этот момент количества движения? Ответ на этот вопрос такой: если у вас есть магнитное поле и какие-то заряды, то поле имеет и момент количества движения. Он возник еще при создании самого поля. Когда же поле выключается, момент количества движения отдается обратно. Так что диск в этом парадоксе начнет крутиться. Таинственный циркулирующий поток энергии, который сначала кажется чем-то непонятным, на самом деле абсолютно необходим. Ведь существует реальный поток импульса. Он необходим для выполнения закона сохранения момента количества движения в целом.