§ 2. Импульс поля движущегося заряда

Возьмем равномерно движущийся электрон и предположим на минуту, что скорость его мала по сравнению со скоростью света. С таким движущимся электроном всегда связан какой-то импульс - даже если у электрона до того, как он был заряжен, не было никакой массы - это импульс электромагнитного поля. Мы покажем, что для малых скоростей он пропорционален скорости  и совпадает с ней по направлению. В точке , находящейся на расстоянии  от центра заряда и под углом  к линии его движения (фиг. 28.1), электрическое поле радиально, а магнитное, как мы видели, равно . Плотность же импульса, в соответствии с формулой (27.21), будет

.

Она обязательно направлена по линии движения, как это видно из рисунка, и по величине равна

.

Поле симметрично относительно линии движения заряда, поэтому поперечные компоненты дадут в сумме нуль, и полученный в результате импульс будет параллелен скорости . Величину составляющей вектора  в этом направлении, равную , нужно проинтегрировать по всему пространству. В качестве элемента объема возьмем кольцо, плоскость которого перпендикулярна  (фиг. 28.2). Объем его равен . Полный импульс будет при этом

.

Фиг. 28.1. Поля  и  и плотность импульса  для положительного электрона.

Для отрицательного электрона поля  и  повернуты в обратную сторону, но  остается тем же.

Фиг. 28.2. Элемент объема , используемый при вычислении импульса поля.

Поскольку  не зависит от угла  (для ), то по углу можно немедленно проинтегрировать:

.

Интегрирование по  ведется в пределах от 0 до , так что этот интеграл дает просто множитель , т. е.

.

А такой интеграл (для ) мы только что вычисляли, чтобы найти энергию; он равен , так что

,

или

.              (28.3)

Импульс поля, т. е. электромагнитный импульс, оказался пропорциональным . В частности, тоже самое выражение получилось бы для частицы с массой, равной коэффициенту пропорциональности при . Вот почему этот коэффициент пропорциональности мы можем назвать электромагнитной массой , т. е. положить

.              (28.4)