§ 2. Преобразование компонент тензора

Вы знаете, что при замене старых осей координат новыми ,  и  компоненты вектора , ,  тоже оказываются другими. То же самое происходит и с компонентами , так что для разных систем координат коэффициенты оказываются различными. Однако вполне можно выяснить, как должны изменяться  при надлежащем изменении компонент  и , ибо, если мы описываем то же самое электрическое поле, но в новой системе координат, мы должны получить ту же самую поляризацию . Для любой новой системы координат  будет линейной комбинацией ,  и :

,

и аналогично для других компонент. Если вместо ,  и  подставить их выражения через  согласно (34.4), то получится

.

Теперь напишите, как выражается ,  и  через ,  и , например,

,

где числа ,  и  связаны с числами ,  и , но не равны им. Таким образом, у вас получилось выражение  через компоненты ,  и , т. е. получились новые . Никаких хитростей здесь нет, хотя все это достаточно запутано.

Когда мы говорили о преобразовании осей, то считали, что положение самого кристалла фиксировано в пространстве. Если же вместе с осями поворачивать и кристалл, то  не изменяются. И обратно, если по отношению к осям изменять ориентацию кристалла, то получится новый набор коэффициентов . Но если они известны для какой-то одной ориентации кристалла, то с помощью только что описанного преобразования их можно найти и для любой другой ориентации. Иначе говоря, диэлектрические свойства кристалла полностью описываются заданием компонент тензора поляризуемости  в любой произвольно выбранной системе координат. Точно так же как вектор скорости  можно связать с частицей, зная, что три его компоненты при замене осей координат будут изменяться некоторым определенным образом, тензор поляризуемости , девять компонент которого при изменении системы осей координат преобразуются вполне определенным образом, можно связать с кристаллом.

Связь между  и  в уравнении (31.4) можно записать в более компактном виде:

,            (31.5)

где под значком  понимается какая-то из трех букв ,  или , а суммирование ведется по  и . Для работы с тензорами было придумано много специальных обозначений, но каждое из них удобно для ограниченного класса проблем. Одно из таких общих соглашений состоит в том, что можно не писать знака суммы  в уравнении (31.5), понимая при этом, что когда один и тот же индекс встречается дважды (в нашем случае ), то нужно просуммировать по всем значениям этого индекса. Однако, поскольку работать с тензорами нам придется немного, давайте не будем осложнять себе жизнь введением каких-то специальных обозначений или соглашений.