§ 5. Векторное произведение

Сами того не подозревая, вы пользуетесь тензором второго ранга уже начиная с гл. 20 (вып. 2). В самом деле, мы определили там «момент силы, действующий в плоскости», например , следующим образом:

Обобщая это определение на три измерения, можно написать

. (31.22)

Как видите, величина - это тензор второго ранга. Один из способов убедиться в этом - свернуть с каким-то вектором, скажем с единичным вектором , т. е. составить

Если эта величина окажется вектором, то должен преобразовываться как тензор - это просто наше определение тензора. Подставляя выражение для , получаем

Поскольку скалярные произведения, естественно, являются скалярами, то оба слагаемых в правой части - векторы, как и их разность. Так что - действительно тензор.

Однако принадлежит к особому сорту тензоров, он антисимметричен, т. е.

Поэтому у такого тензора есть только три разные и неравные нулю компоненты: , и . В гл. 20 (вып. 2) нам удалось показать, что эти три члена почти «по счастливой случайности» преобразуются подобно трем компонентам вектора; поэтому мы могли тогда определить вектор

Я сказал «по случайности» потому, что это происходит только в трехмерном пространстве. Например, для четырех измерений антисимметричный тензор второго ранга имеет шесть различных ненулевых членов, и его, разумеется, нельзя заменить вектором, у которого компонент только четыре.

Точно так же как аксиальный вектор является тензором, по тем же соображениям тензором будет и любое векторное произведение двух полярных векторов. К счастью, они тоже представимы в виде вектора (точнее, псевдовектора), что немного облегчает нам всю математику.

Вообще говоря, для любых двух векторов и девять величин образуют тензор (хотя для физических целей он не всегда может быть полезен). Таким образом, для вектора положения величины являются тензором, а поскольку тоже тензор, то мы видим, что правая часть (31.20) действительно является тензором. Подобным же образом тензором будет и (31.22), так как оба члена в правой части - тензоры.