§ 8. Четырехмерный тензор электромагнитного импульса

Все тензоры, с которыми мы сталкивались в этой главе, были связаны с трехмерным пространством; они определялись как величины, имеющие известные трансформационные свойства при пространственных поворотах. А вот в гл. 26 (вып. 6) мы имели возможность воспользоваться тензором в четырехмерном пространстве-времени: это был тензор электромагнитного поля . Компоненты такого четырехмерного тензора особым образом преобразуются при преобразованиях Лоренца. (Мы этого, правда, не делали, но могли бы рассматривать преобразования Лоренца как своего рода «вращение» в четырехмерном «пространстве», называемом пространством Минковского; тогда аналогия с тем, что мы рассматривали здесь, была бы ярче.)

В качестве последнего примера мы хотим рассмотреть другой тензор в четырех измерениях  теории относительности. Когда мы говорили о тензоре напряжений, то определяли  как компоненту силы, действующую на единичную площадку. Но сила равна скорости изменения импульса со временем. Поэтому вместо того, чтобы говорить « - это -компонента силы, действующей на единичную площадку, перпендикулярную оси », мы с равным правом могли бы сказать: « - это скорость потока -компоненты импульса через единичную площадку, перпендикулярную оси ». Другими словами, каждый член  представляет поток -й компоненты импульса через единичную площадку, перпендикулярную оси . Так обстоит дело с чисто пространственными компонентами, но они составляют только часть «большего» тензора  в четырехмерном пространстве ( и ), содержащего еще дополнительные компоненты , ,  и т. п. Попытаемся теперь выяснить физический смысл этих дополнительных компонент.

Нам известно, что пространственные компоненты представляют поток импульса. Чтобы найти ключ к распространению этого понятия на «временное направление», обратимся к «потоку» другого рода - потоку электрического заряда. Скорость потока скалярной величины, подобной заряду (через единичную площадь, перпендикулярную потоку), является пространственным вектором - вектором плотности тока . Мы видели, что временная компонента вектора потока - это плотность текущего вещества. Например,  можно скомбинировать с плотностью заряда  и получить четырехвектор , т. е. значок  у вектора  принимает четыре значения: . Это означает «плотность», «скорость потока в -направлении», «скорость потока в -направлении» и «скорость потока в -направлении» скалярного заряда.

Теперь по аналогии с нашим утверждением о временной компоненте потока скалярной величины можно ожидать, что вместе с ,  и , описывающими поток -компоненты импульса, должна быть и временная компонента , которая по идее должна бы описывать плотность того, что течет, т. е.  должна быть плотностью -компоненты импульса. Таким образом, мы можем расширить наш тензор по горизонтали, включив в него -компоненты, и в нашем распоряжении оказываются:

 - плотность -компоненты импульса,

 - поток -компоненты импульса в направлении оси ,

 - поток -компоненты импульса в направлении оси ,

 - поток -компоненты импульса в направлении оси .

Аналогичная вещь происходит и с -компонентой; у нас есть три компоненты потока: ,  и , к которым нужно добавить четвертый член:

 - плотность -компоненты импульса,

а к трем компонентам ,  и  мы добавляем

 - плотность -компоненты импульса.

В четырехмерном пространстве у импульса существует также и -компонента, которой, как мы знаем, является энергия. Так что тензор  следует продолжить по вертикали с включением в него ,  и , причем

            (31.28)

т. е.  - это поток энергии в единицу времени через поверхность единичной площади, перпендикулярную оси , и т. д. Наконец, чтобы пополнить наш тензор, нужна еще величина , которая должна быть плотностью энергии. Итак, мы расширили наш трехмерный тензор напряжений до четырехмерного тензора энергии-импульса . Индекс  может принимать четыре значения: , ,  и , которые означают «плотность», «поток через единичную площадь в направлении оси », «поток через единичную площадь в направлении оси » и «поток через единичную площадь в направлении оси ». Значок  тоже принимает четыре значения: , , , , которые говорят нам, что же именно течет: «энергия», «-компонента импульса», «-компонента импульса» или же «-компонента импульса».

В качестве примера рассмотрим этот тензор не в веществе, а в пустом пространстве с электромагнитным полем. Вы знаете, что поток энергии электромагнитного поля описывается вектором Пойнтинга . Так что -, - и -компоненты вектора  с релятивистской точки зрения являются компонентами ,  и  нашего тензора энергии-импульса. Симметрия тензора  переносится и на временные компоненты, так что четырехмерный тензор  тоже симметричен:

.                  (31.29)

Другими словами, компоненты , , , которые представляют плотности -, - и -компонент импульса, равны также -, - и -компонентам вектора Пойнтинга , или, как мы видели раньше из других соображений, вектора потока энергии.

Оставшиеся компоненты тензора электромагнитного напряжения  тоже можно выразить через электрическое и магнитное поля  и . Иначе говоря, для электромагнитного поля в пустом пространстве мы должны допустить существование тензора напряжений, или, выражаясь менее таинственно, потока импульса электромагнитного поля. Мы уже обсуждали это в гл. 27 (вып. 6) в связи с уравнением (27.21), но тогда мы не входили в детали.

Тем из вас, кто хочет испытать свою удаль на четырехмерных тензорах, может понравиться выражение для тензора  через поля:

,

где суммирование по  и  проводится по всем их значениям (т. е. , ,  и ), но, как обычно в теории относительности, для суммы  и символа  принимается специальное соглашение. В суммах слагаемые со значками , ,  должны вычитаться, а , тогда как  и  для всех . Сможете ли вы доказать, что эта формула приводит к плотности энергии  и вектору Пойнтинга ? Можете ли вы показать, что в электростатическом поле, когда , главная ось напряжения направлена по электрическому полю и вдоль направления поля возникает натяжение  и равное ему давление в направлении, перпендикулярном направлению поля?