§ 7. Низкочастотное и высокочастотное приближения; глубина скин-слоя и плазменная частота

Наш результат для показателя преломления в металлах - формула (32.42) - предсказывает для распространения волн с разными частотами совершенно различные характеристики. Прежде всего давайте посмотрим, что получается при низких частотах. Если величина достаточно мала, то (32.42) можно приближенно записать в виде

. (32.44)

Возведением в квадрат можно проверить, что

;

таким образом, для низких частот

. (32.45)

Вещественная и мнимая части имеют одну и ту же величину. С такой большой мнимой частью волны в металлах затухают очень быстро. В соответствии с выражением (32.36) амплитуда волны, идущей в направлении оси , уменьшается как

. (32.46)

Запишем это в виде

, (32.47)

где - это то расстояние, на котором амплитуда волны уменьшается в раза, т. е. приблизительно в 3 раза. Амплитуда такой волны, как функция от , показана на фиг. 32.3. Поскольку электромагнитные волны проникают в глубь металла только на это расстояние, величина называется глубиной скин-слоя и определяется выражением

. (32.48)

Фиг. 32.3. Амплитуда поперечной электромагнитной волны в металле как функция расстояния.

Но что все-таки мы понимаем под «низкими» частотами? Взглянув на уравнение (32.42), мы видим, что его можно приближенно заменить уравнением (32.44), только когда много меньше единицы и когда также много меньше единицы, т. е. наше низкочастотное приближение применимо при

. (32.49)

Давайте посмотрим, какие частоты соответствуют этому приближению для такого типичного металла, как медь. Для вычисления воспользуемся уравнением (32.43), а для вычисления - известными значениями и . Справочник дает нам такие данные:

Атомный вес г,

Плотность,

Число Авогадро.

Если мы предположим, что на каждый атом приходится по одному свободному электрону, то число электронов в кубическом метре будет равно

Используя далее

получаем

Таким образом, для частот, меньших чем приблизительно гц, медь будет иметь описанное нами «низкочастотное» поведение. (Это будут волны с длиной, большей 0,3 мм, т. е. очень короткие радиоволны!)

Для таких волн глубина скин-слоя равна

Для микроволн с частотой 10 000 Мгц (3-сантиметровые волны)

т. е. волны проникают на очень малое расстояние.

Теперь вы видите, почему при изучении полостей (и волноводов) нам нужно беспокоиться только о полях внутри полости, а не о волнах в металле или вне полости. Кроме того, мы видим, почему серебрение или золочение полости уменьшает потери в ней. Ведь потери происходят благодаря токам, которые ощутимы только в тонком слое, равном глубине скин-слоя.

Рассмотрим теперь показатель преломления в металле типа меди при высоких частотах. Для очень высоких частот много больше единицы, и уравнение (32.42) очень хорошо аппроксимируется следующим:

. (32.50)

Для высокочастотных волн показатель преломления в металлах становится чисто вещественным и меньшим единицы! Это следует также из выражения (32.38), если пренебречь диссипативным членом с , что может быть сделано при очень больших значениях . Выражение (32.38) дает при этом

, (32.51)

что, разумеется, эквивалентно уравнению (32.50). Раньше нам уже встречалась величина , которую мы назвали плазменной частотой (см. гл. 7, § 3, вып. 5):

Таким образом, (32.50) или (32.51) можно переписать в виде

Эта плазменная частота является своего рода «критической».

Для показатель преломления металла имеет мнимую часть и происходит поглощение волн, но при показатель становится вещественным, а металл - прозрачным. Вы знаете, конечно, что металлы в достаточной мере прозрачны для рентгеновских лучей. Но некоторые металлы прозрачны даже для ультрафиолета. В табл. 32.3 мы приводим для некоторых металлов экспериментально наблюдаемые длины волн, при которых эти металлы начинают становиться прозрачными. Во второй колонке дана вычисленная критическая длина волны . Учитывая, что экспериментальная длина волны определена не очень хорошо, согласие с теорией следует признать замечательным.

Таблица 32.3 ДЛИНЫ ВОЛН, ПРИ КОТОРЫХ МЕТАЛЛ СТАНОВИТСЯ ПРОЗРАЧНЫМ

Металл
Li	1550	1550
Na	2100	2090
K	3150	2870
Rb	3400	3220

Вас может удивить, почему плазменная частота должна иметь отношение к распространению волн в металлах. Плазменная частота появилась у нас в гл. 7 (вып. 5) как собственная частота колебаний плотности свободных электронов. (Электрическое расталкивание группы электронов и их инерция приводят к колебаниям плотности.) Продольные волны плазмы резонируют при частоте . Но сейчас мы говорим о поперечных волнах, и мы уже нашли, что при частотах, меньших , происходит их поглощение. (Это очень интересное и отнюдь не случайное совпадение.)

Хотя мы все время говорили о распространении волн в металлах, вы одновременно, должно быть, почувствовали универсальность явлении физики: нет никакой разницы в том, находятся ли свободные электроны в металле, в плазме, в ионосфере Земли или в атмосфере звезд. Чтобы понять распространение радиоволн в ионосфере, можно воспользоваться тем же выражением, разумеется, при надлежащих значениях величин и . Теперь мы можем видеть, почему длинные радиоволны поглощаются или отражаются ионосферой, тогда как короткие свободно проходят через нее. (Поэтому для связи с искусственными спутниками Земли должны применяться короткие волны.)

Мы говорили о распространении предельных высоко- и низкочастотных волн в металлах. Для промежуточных же частот необходимо использовать «полновесное» уравнение (32.42). В общем случае показатель преломления будет иметь вещественную и мнимую части, и при распространении волн в металлах происходит их поглощение. Очень тонкие слои металла прозрачны даже для обычных оптических частот. В качестве примера приведем специальные защитные очки для рабочих, работающих около высокотемпературных печей. Эти очки изготавливаются напылением на стекло очень тонкого слоя золота; стекло это достаточно прозрачно для видимого света и на просвет выглядит как зеленое, но инфракрасные лучи сильно поглощает.

И, наконец, от читателя невозможно скрыть тот факт, что многие из этих формул в некотором отношении напоминают формулы для диэлектрической проницаемости , рассмотренные в гл. 10 (вып. 5). Диэлектрической проницаемостью измеряется реакция материала на статическое электрическое поле, т. е. когда . Если вы посмотрите повнимательнее на определение и , то обнаружите, что есть не что иное, как предел при . В самом деле, положив в уравнениях этой главы и , мы воспроизведем уравнения теории диэлектрической проницаемости гл. 11 (вып. 5).