Глава 39. УПРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ§ 1. Тензор деформацииВ предыдущей главе мы говорили о возмущениях упругих тел в простых случаях. В этой главе мы посмотрим, что может происходить внутри упругого материала в общем случае. Как описать условия напряжения и деформации в большом куске желе, скрученном и сжатом каким-то очень сложным образом? Для этого необходимо описать локальную деформацию в каждой точке упругого тела, а это можно сделать, задав в ней набор шести чисел - компонент симметричного тензора. Ранее (в гл. 31) мы говорили о тензоре напряжений, теперь же нам потребуется тензор деформации. Предположим, что мы взяли недеформированный материал и, прикладывая напряжение, наблюдаем за движением маленького пятнышка примеси, попавшей внутрь. Пятнышко, которое вначале находилось в точке
Фиг. 39.1. Пятнышко примеси в материале из точки Перемещение Сначала рассмотрим простейший случай, когда деформация по всему материалу постоянна, т. е. то, что называется однородной деформацией. Предположим, например, что мы взяли балку из какого-то материала и равномерно ее растянули. Иначе говоря, мы просто равномерно изменили ее размер в одном направлении, скажем в направлении оси
Мы будем записывать
Разумеется, константа пропорциональности Фиг. 39.2. Однородная деформация растяжения. Если же деформация неоднородна, то связь между
Это число, которое теперь будет функцией
Кроме того, нам нужно описать деформации типа сдвигов. Вообразите, что в первоначально невозмущенном желе вы выделили маленький кубик. Нажав на желе, мы изменяем его форму, и наш кубик может превратиться в параллелограмм (фиг. 39.3). При такой деформации перемещение в направлении
а перемещение в направлении
Таким образом, деформацию сдвигового типа можно описать с помощью
где
Теперь вы сочтете, что при неоднородной деформации обобщенную деформацию сдвига можно описать, определив величины
Однако здесь есть некая трудность. Предположим, что перемещения
Фиг. 39.3. Однородная деформация сдвига. Они напоминают уравнения (39.4) и (39.5), за исключением того, что при
Для чистого вращения оба они равны нулю, но для чистого сдвига мы получаем, как и хотели, Фиг. 39.4. Однородный поворот. Никаких деформаций нет. В наиболее общем случае возмущения, который наряду со сдвигом может включать растяжение или сжатие, мы будем определять состояние деформации заданием девяти чисел:
Они образуют компоненты тензора деформации. Поскольку тензор этот симметричен (согласно нашему определению,
где индексы Когда мы имеем дело с однородной деформацией, которая может включать как растяжения, так и сдвиги, то все
(Начало координат выбрано в точке, где Если же деформация неоднородна, то любой кусочек желе может быть как-то искажен и, кроме того, могут возникнуть местные повороты. Когда все возмущения малы, мы получаем
где
описывающий поворот. Нам незачем беспокоиться о поворотах; займемся только деформацией, которая описывается симметричным тензором
|