Глава 39. УПРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ

§ 1. Тензор деформации

В предыдущей главе мы говорили о возмущениях упругих тел в простых случаях. В этой главе мы посмотрим, что может происходить внутри упругого материала в общем случае. Как описать условия напряжения и деформации в большом куске желе, скрученном и сжатом каким-то очень сложным образом? Для этого необходимо описать локальную деформацию в каждой точке упругого тела, а это можно сделать, задав в ней набор шести чисел - компонент симметричного тензора. Ранее (в гл. 31) мы говорили о тензоре напряжений, теперь же нам потребуется тензор деформации.

Предположим, что мы взяли недеформированный материал и, прикладывая напряжение, наблюдаем за движением маленького пятнышка примеси, попавшей внутрь. Пятнышко, которое вначале находилось в точке  и имело положение , передвигается в новую точку , т. е. в положение , как это показано на фиг. 39.1. Мы будем обозначать через  вектор перемещения из точки  в точку , т. е.

.                   (39.1)

Фиг. 39.1. Пятнышко примеси в материале из точки  недеформированного кубика после деформации перемещается в точку .

Перемещение  зависит, конечно, от точки , из которой оно выходит так, что  есть векторная функция от  или от .

Сначала рассмотрим простейший случай, когда деформация по всему материалу постоянна, т. е. то, что называется однородной деформацией. Предположим, например, что мы взяли балку из какого-то материала и равномерно ее растянули. Иначе говоря, мы просто равномерно изменили ее размер в одном направлении, скажем в направлении оси  (фиг. 39.2). Перемещение их пятнышка с координатой  пропорционально самому . Действительно,

.

Мы будем записывать  следующим образом:

.

Разумеется, константа пропорциональности  - это то же, что наше старое отношение . (Скоро вы увидите, почему нам потребовался двойной индекс.)

Фиг. 39.2. Однородная деформация растяжения.

Если же деформация неоднородна, то связь между  и  в материале будет изменяться от точки к точке. В таком общем случае мы определим  как своего рода локальную величину , т. е.

.                  (39.2)

Это число, которое теперь будет функцией ,  и , описывает величину растяжения в направлении оси  по всему куску желе. Возможны, конечно, растяжения и в направлении осей  и . Мы будем описывать их величинами

.                 (39.3)

Кроме того, нам нужно описать деформации типа сдвигов. Вообразите, что в первоначально невозмущенном желе вы выделили маленький кубик. Нажав на желе, мы изменяем его форму, и наш кубик может превратиться в параллелограмм (фиг. 39.3). При такой деформации перемещение в направлении  каждой частицы пропорционально ее координате :

,                    (39.4)

а перемещение в направлении  пропорционально :

.                    (39.5)

Таким образом, деформацию сдвигового типа можно описать с помощью

,

где

.

Теперь вы сочтете, что при неоднородной деформации обобщенную деформацию сдвига можно описать, определив величины  и  следующим образом:

.                 (39.6)

Однако здесь есть некая трудность. Предположим, что перемещения  и  имеют вид

.

Фиг. 39.3. Однородная деформация сдвига.

Они напоминают уравнения (39.4) и (39.5), за исключением того, что при  стоит обратный знак. При таком перемещении маленький кубик из желе претерпевает простой поворот на угол  (фиг. 39.4). Никакой деформации здесь вообще нет, а есть просто вращение в пространстве. При этом никакого возмущения материала не происходит, а относительное положение всех атомов совершенно не изменяется. Нужно как-то устроить так, чтобы чистое вращение не входило в наше определение деформации сдвига. Указанием может послужить то, что если  и  равны и противоположны, никакого напряжения нет; этого можно добиться, определив

.

Для чистого вращения оба они равны нулю, но для чистого сдвига мы получаем, как и хотели, .

Фиг. 39.4. Однородный поворот. Никаких деформаций нет.

В наиболее общем случае возмущения, который наряду со сдвигом может включать растяжение или сжатие, мы будем определять состояние деформации заданием девяти чисел:

                        (39.7)

Они образуют компоненты тензора деформации. Поскольку тензор этот симметричен (согласно нашему определению,  всегда равно ), то на самом деле различных чисел здесь только шесть. Вы помните (см. гл. 31) общее свойство всех тензоров - элементы его преобразуются при повороте подобно произведению компонент двух векторов. (Если  и  - векторы, то  - тензор.) А каждое наше  есть произведение (или сумма таких произведений) компонент вектора  и оператора , который, как мы знаем, преобразуется подобно вектору. Давайте вместо ,  и  писать ,  и , а вместо ,  и  писать ,  и ; тогда общий вид элемента тензора  будет выглядеть так:

,              (39.8)

где индексы  и  могут принимать значения 1, 2 или 3.

Когда мы имеем дело с однородной деформацией, которая может включать как растяжения, так и сдвиги, то все  - постоянные, и мы можем написать

.                      (39.9)

(Начало координат выбрано в точке, где  равно нулю.) В этих случаях тензор деформации  дает соотношение между двумя векторами – вектором координаты  и вектором перемещения .

Если же деформация неоднородна, то любой кусочек желе может быть как-то искажен и, кроме того, могут возникнуть местные повороты. Когда все возмущения малы, мы получаем

,                     (39.10)

где  - антисимметричный тензор

, (39.11)

описывающий поворот. Нам незачем беспокоиться о поворотах; займемся только деформацией, которая описывается симметричным тензором .