§ 4. ЦиркуляцияВ начале предыдущего параграфа мы видели, что если у нас есть безвихревая несжимаемая жидкость, то поток удовлетворяет следующим двум уравнениям:
Эти уравнения аналогичны уравнениям электростатики или магнитостатики в пустом пространстве. При отсутствии зарядов дивергенция электрического поля равна нулю, а ротор электростатического поля всегда равен нулю. Ротор магнитного поля равен нулю при отсутствии токов, а дивергенция магнитного поля всегда равна нулю. Следовательно, уравнения (40.19) имеют такие же решения, как и уравнения для Фиг. 40.11. Обтекание цилиндра идеальной жидкостью (а), циркуляция вокруг цилиндра (б) и суперпозиция случаев а и б (в). Задача об обтекании цилиндра имеет и другое решение, когда условия таковы, что поток на больших расстояниях движется по окружности вокруг цилиндра. Тогда поток будет круговым повсюду (фиг. 40.11,б). У такого потока есть циркуляция вокруг цилиндра, хотя У нас есть циркуляция вокруг цилиндра, ибо криволинейный интеграл от
Для безвихревого потока интеграл не должен зависеть от
где Существует очень хороший способ демонстрации циркуляции жидкости в трубе. Вы берете прозрачный цилиндрический резервуар с трубкой в центре дна. Наполняете его водой, немного раскручиваете ее палочкой и вынимаете пробку из отводной трубы. И получаете тот красивый эффект, который показан на фиг. 40.12. (Подобное явление вы наверняка много раз видели в ванне!) Хотя вначале вы и создали некоторую угловую скорость Фиг. 40.12. Вода с циркуляцией вытекает из резервуара. Из теории можно вычислить форму поверхности воды в цилиндре. По мере того как частицы движутся внутрь, они набирают скорость. Согласно уравнению (40.20), тангенциальная скорость увеличивается как
Но здесь
Обратите внимание на одну интересную особенность, которая наблюдается в случае несжимаемого безвихревого потока (в общем случае ее нет): если у нас есть какое-то одно решение и какое-то второе решение, то сумма их тоже будет решением. Это справедливо потому, что уравнения (40.19) - линейные. Полный же набор гидродинамических уравнений, т. е. уравнений (40.8)-(40.10), не линеен, а это уже совсем другое дело. Однако для безвихревого потока вокруг цилиндра мы можем сложить один поток (фиг. 40.11,а) и другой поток (фиг. 40.11,б) и получить новый вид потока (фиг. 40.11,в). Этот новый поток особенно интересен. Скорость потока на верхней стороне цилиндра оказывается больше, чем на нижней, так что когда на циркуляцию вокруг цилиндра налагается чистый горизонтальный поток, то возникнет действующая на цилиндр вертикальная сила; она называется подъемной силой. Разумеется, если циркуляция отсутствует, то в соответствии с нашей теорией «сухой» воды для любого тела суммарная сила обращается в нуль.
|