Глава 41. ТЕЧЕНИЕ «МОКРОЙ» ВОДЫ

§ 1. Вязкость

В предыдущей главе мы говорили о поведении воды, пренебрегая при этом эффектами вязкости. Теперь же мне хотелось бы обсудить, как вязкость влияет на течение жидкости. Рассмотрим реальное поведение жидкости. Я опишу качественно, как ведет себя жидкость в самых разных условиях, так чтобы вы получше прочувствовали эту науку. И хотя вы увидите сложные уравнения и услышите о трудных вещах, наша цель совсем не в том, чтобы изучить все тонкости. Цель этой главы скорее «общеобразовательная», просто я хочу дать вам некоторое понятие о том, как устроен мир. Однако здесь все же есть один пункт, который стоит того, чтобы его выучить: полезно знать простое определение вязкости. С него мы и начнем. Все же остальное предназначено для вашего удовольствия.

В предыдущей главе мы нашли, что законы движения жидкости содержатся в уравнении

.              (41.1)

В нашем приближении «сухой» воды мы отбрасывали последнее слагаемое, так что всеми эффектами вязкости мы пренебрегали. Кроме того, мы иногда делали еще дополнительное приближение, считая жидкость несжимаемой, и при этом получали дополнительное уравнение:

.

Это приближение часто оказывается вполне приличным, особенно когда скорость потока много меньше скорости звука. Но в реальных жидкостях мы почти никогда не можем пренебречь внутренним трением, называемым нами вязкостью; большинство интересных вещей в поведении жидкости так или иначе связано именно с этим свойством. Так, мы узнали, что циркуляция «сухой» воды никогда не изменяется: если ее не было вначале, то она никогда и не появится. Но в то же время мы повседневно сталкиваемся с циркуляцией в жидкости. Так что нашу теорию надо подправить.

Начнем с важного экспериментального факта. Когда мы занимались потоком «сухой» воды, обтекающей какой-то предмет или текущей мимо него, т. е. так называемым «потенциальным потоком», у нас не было причин запретить воде иметь составляющую скорости, тангенциальную к поверхности предмета; только нормальная компонента должна была быть равна нулю. Мы не принимали во внимание возможность возникновения сил сдвига между жидкостью и твердым телом. А вот оказывается, хотя это далеко и не очевидно, что во всех случаях, где это было проверено экспериментально, скорость жидкости на поверхности твердого тела в точности равна нулю. Вы замечали, конечно, что лопасти вентилятора собирают на себя тонкий слой пыли, и это несмотря на то, что они вращаются в воздухе. Тот же эффект можно наблюдать даже в больших аэродинамических трубах. Почему же пыль не сдувается воздухом? Несмотря на то, что лопасти вентилятора быстро вращаются в воздухе, скорость воздуха относительно них, измеренная непосредственно на их поверхности, равна нулю, так что поток воздуха не возмущает даже мельчайших пылинок. Мы должны модифицировать теорию так, чтобы она согласовалась с тем экспериментальным фактом, что во всех обычных жидкостях молекулы, находящиеся рядом с поверхностью, имеют нулевую скорость (относительно поверхности).

Сначала мы характеризовали жидкость так, что если приложить к ней напряжение сдвига, то, сколь бы мало оно ни было, жидкость «поддается» и течет. В статическом случае никаких напряжении сдвига нет. Однако, когда равновесия еще нет, в момент, когда вы давите на жидкость, силы сдвига вполне могут быть. Вязкость как раз и описывает эти силы, возникающие в движущейся жидкости. Чтобы измерить силы сдвига в процессе движения жидкости, рассмотрим такой эксперимент. Предположим, что имеются две плоские твердые пластины, между которыми находится вода (фиг. 41.1), причем одна из пластин неподвижна, тогда как другая движется параллельно ей с малой скоростью . Если вы будете измерять силу, требуемую для поддержания движения верхней пластины, то найдете, что она пропорциональна площади пластины и отношению , где  - расстояние между пластинами. Таким образом, напряжение сдвига  пропорционально :

.

Коэффициент пропорциональности  называется коэффициентом вязкости.

Фиг. 41.1. Увлечение жидкости между двумя параллельными пластинками.

Если перед нами более сложный случай, то мы всегда можем рассмотреть в воде небольшой плоский прямоугольный объем, грани которого параллельны потоку (фиг. 41.2). Силы в этом объеме определяются выражением

.             (41.2)

Далее,  представляет скорость изменения деформаций сдвига, определенных нами в гл. 38, так что силы в жидкости пропорциональны скорости изменения деформаций сдвига.

Фиг. 41.2. Напряжения сдвига в вязкой жидкости.

В общем случае мы пишем

.             (41.3)

При равномерном вращении жидкости производная  равна  с обратным знаком, a  будет равна нулю, как это и требуется, ибо в равномерно вращающейся жидкости напряжения отсутствуют. (Подобную же вещь мы проделывали в гл. 39 при определении .) Разумеется, для  и  тоже есть соответствующие выражения.

В качестве примера применения этих идей рассмотрим движение жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами. Пусть радиус внутреннего цилиндра равен , его скорость будет , а радиус внешнего цилиндра пусть будет , а скорость равна  (фиг. 41.3). Возникает вопрос, каково распределение скоростей между цилиндрами? Чтобы ответить на него, начнем с получения формулы для вязкого сдвига в жидкости на расстоянии  от оси. Из симметрии задачи можно предположить, что поток всегда тангенциален и что его величина зависит только от ; . Если мы понаблюдаем за соринкой в воде, расположенной на расстоянии  от оси, то ее координаты как функции времени будут

,

где . При этом - и -компоненты скорости равны

 и .                    (41.4)

Из формулы (41.3) получаем

.                 (41.5)

Для точек с  имеем , а  будет равно . Так что в этих точках

.                 (41.6)

(Разумно думать, что величина  должна зависеть от , когда  не изменяется с , жидкость находится в состоянии равномерного вращения и напряжения в ней не возникают.)

Фиг. 41.3. Поток жидкости между двумя концентрическими цилиндрами, вращающимися с разными угловыми скоростями.

Вычисленное нами напряжение представляет собой тангенциальный сдвиг, одинаковый повсюду вокруг цилиндра. Мы можем получить момент сил, действующий на цилиндрической поверхности радиусом , путем умножения напряжения сдвига на плечо импульса  и площадь :

.                  (41.7)

Поскольку движение воды стационарно и угловое ускорение отсутствует, то полный момент, действующий на цилиндрическую поверхность воды между радиусами  и , должен быть нулем; иначе говоря, момент сил на расстоянии  должен уравновешиваться равным ему и противоположно направленным моментом сил на расстоянии , так что  не должно зависеть от . Другими словами,  равно некоторой постоянной, скажем , и

.                   (41.8)

Интегрируя, находим как  изменяется с :

.                       (41.9)

Постоянные  и  должны определяться из условия, что  в точке , a  в точке . Тогда находим

                      (41.10)

Таким образом,  как функция  нам известна, а стало быть, известно и .

Если же нам нужно определить момент сил, то его можно получить из выражений (41.7) и (41.8):

,

или

.                   (41.11)

Он пропорционален относительной угловой скорости двух цилиндров. Имеется стандартный прибор для измерения коэффициентов вязкости, который устроен следующим образом: один из цилиндров (скажем, внешний) посажен на ось, но удерживается в неподвижном состоянии пружинным динамометром, который измеряет действующий на него момент сил, а внутренний цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью. Коэффициент вязкости определяется при этом из формулы (41.11).

Из определения коэффициента вязкости вы видите, что  измеряется в . Для воды при 20° С

.

Часто удобнее бывает пользоваться удельной вязкостью, которая равна , деленной на плотность . При этом величины удельных вязкостей воды и воздуха сравнимы:

                      (41.12)

Обычно вязкость очень сильно зависит от температуры. Например, для воды непосредственно над точкой замерзания отношение  в 1,8 больше, чем при 20° С.