§ 6. Гамильтониам частицы со спином 1/2 в магнитном поле
Обратимся теперь еще к одной системе с двумя состояниями. На этот раз нашим объектом будет частица со спином
. Кое-что из того, что мы намерены сказать, затрагивалось уже в предыдущих главах, но повторение поможет нам немного прояснить кое-какие темные места. Покоящийся электрон мы можем считать тоже системой с двумя состояниями. Хотя в этом параграфе мы будем толковать об «электроне», но то, что мы выясним, будет справедливо по отношению ко всякой частице со спином
.
Предположим, что в качестве наших базисных состояний
и
мы выбрали состояния, в которых
-комнонента спина электрона равна либо
, либо
. Эти состояния, конечно, те же самые состояния (+) и (—), с которыми мы встречались в прежних главах. Чтобы согласовать эти и прежние обозначения, спиновое состояние
мы будем отмечать «плюсом», а спиновое состояние
— «минусом», причем «плюс» и «минус» относятся к моменту количества движения в направлении
.
Всякое мыслимое состояние
электрона можно описать уравнением (8.1), задав амплитуду
того, что электрон находится в состоянии
, и амплитуду
того, что он находится в состоянии
. Для этого нам понадобится гамильтониан нашей системы с двумя состояниями — электрона в магнитном поле. Начнем с частного случая магнитного поля в направлении
.
Пусть вектор
имеет только
-компоненту
. Из определения двух базисных состояний (что их спины параллельны и антипараллельны
) мы знаем, что они уже являются стационарными состояниями — состояниями с определенной энергией в магнитном поле. Состояние
соответствует энергии, равной
, а состояние
— энергии
. В этом случае гамильтониан должен быть очень простым, поскольку на
— амплитуду оказаться в состоянии
не влияет и наоборот:
(8.17)
В этом частном случае гамильтониан равен
(8.18)
Итак, мы знаем, какой вид имеет гамильтониан, когда магнитное поле направлено по
, и знаем еще энергии стационарных состояний.
А теперь пусть поле не направлено по
. Каков теперь гамильтониан? Как меняются матричные элементы, когда поле не направлено по
? Мы сделаем предположение, что для членов гамильтониана имеется своего рода принцип суперпозиции. Точнее, мы предположим, что если два магнитных поля налагаются одно на другое, то члены гамильтониана просто складываются: если нам известно
для поля, состоящего из одной только компоненты
, и известно
для одной только
, то
для поля с компонентами
,
получится простым сложением. Это бесспорно верно, если рассматриваются только поля в направлении
: если удвоить
, то удвоятся и все
,. Итак, давайте допустим, что
линейно по полю
. Чтобы найти
, для какого угодно магнитного поля, больше ничего и не нужно.
Пусть у нас есть постоянное поле
. Мы бы могли провести нашу ось
в направлении поля и обнаружили бы два стационарных состояния с энергиями
. Простой выбор другого направления осей не изменил бы физики дела. Наше описание стационарных состояний стало бы иным, но их энергии по-прежнему были бы
, т. е.
(8.19)
Дальше все уже совсем легко. У нас есть формулы для энергий. Нам нужен гамильтониан, линейный по
,
и
, который даст именно такие энергии, если применить нашу общую формулу (8.3). Задача — найти гамильтониан. Прежде всего заметим, что энергия расщепляется симметрично и ее среднее значение есть пуль. Взглянув на (8.3), мы сразу же увидим, что для этого требуется

(Заметьте, что это подтверждается тем, что нам уже известно при
; в этом случае
и
.) Если теперь приравнять энергии из (8.3) к тому, что нам известно из (8.19), то получится
. (8.20)
(Мы использовали таких тот факт, что
так что
может быть записано в виде
.) Опять в частном случае поля в направлении
это даст
,
откуда
в этом частном случае равно нулю, что означает, что в
не может войти член с
. (Вы помните, что мы говорили о линейности всех членов по
,
и
.)
Итак, пока мы узнали, что в
и
входят члены с
, а в
и
— нет. Можно попробовать угадать формулы, которые будут удовлетворять уравнению (8.20), написав

и
. (8.21)
Оказывается, что никак иначе этою сделать нельзя!
«Погодите,— скажете вы, -
не линейно. Из (8.21) следует, что
. Не обязательно. Есть и другая возможность, которая уже линейна, а именно
.
На самом деле таких возможностей не одна, в общем случае можно написать
,
где
— произвольная фаза.
Какой же знак и какую фазу мы обязаны паять? Оказывается, что можно выбрать любой знак и фазу тоже любую, а физические результаты от этого не изменятся. Так что выбор — эти вопрос соглашения. Еще до нас кто-то решил ставить знак минус и брать
. Мы можем делать так же и написать
.
(Кстати, эти соглашения связаны и согласуются с тем произволом в выбор фаз, который мы использовали в гл. 4.)
Полный гамильтониан для электрона в произвольном магнитном поле, следовательно, равен
(8.22)
А уравнения для амплитуд
и
таковы:
(8.23)
Итак, мы открыли «уравнения движения спиновых состояний» электрона в магнитном поле. Мы угадали их, пользуясь некоторыми физическими аргументами, но истинная проверка всякого гамильтониана заключается я том, что он обязан давать предсказания, согласующиеся с экспериментом. Из всех сделанных проверок следует, что эти уравнения правильны. Более того, хотя все наши рассуждения относились к постоянному полю, написанный нами гамильтониан правилен и тогда, когда магнитные поля меняются со временем. Значит, мы теперь можем применять уравнения (8.2о) для решения всевозможных интересных задач.