Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


§ 6. Обобщение на системы с N состояниями

Мы покончили с системами с двумя состояниями, рассказав все, что хотелось. В дальнейших главах мы перейдем к изучению систем с большим числом состояний. Расширение на системы с  состояниями идей, разработанных для двух состояний, проходит довольно просто. Это делается примерно так.

Если система обладает  различными состояниями, то всякое состояние  можно представить как линейную комбинацию произвольной совокупности базисных состояний , где :

                                        (9.57)

Коэффициенты  — это амплитуды . Поведение амплитуд  во времени направляется уравнениями

                                       (9.57)

где энергетическая матрица  описывает физику задачи. С виду она такая же, как и для двух состояний. Но только теперь и , и  должны пробегать по всем  базисным состояниям, и энергетическая матрица  (или, если вам больше нравится, гамильтониан) — это теперь матрица , состоящая из  чисел. Как и прежде,  (до тех пор, пока частицы сохраняются) и диагональные элементы  суть вещественные числа.

Мы нашли общее решение для всех  в системе с двумя состояниями, когда энергетическая матрица постоянна (не зависит от ). Точно так же нетрудно решить и уравнение (9.58) для системы с  состояниями, когда  не зависит от времени. Опять мы начинаем с того, что ищем возможное решение, в котором у всех амплитуд зависимость от времени одинакова. Мы пробуем

,                                                            (9.59)

Если все эти  подставить в (9.58), то производные  превращаются просто в . Сокращая повсюду на общую экспоненту, получаем

.                                                           (9.60)

Эта система  линейных алгебраических уравнений для  неизвестных ; решение у нее бывает только тогда, когда вам сильно повезет, когда определитель из коэффициентов при всех  равен нулю. Но не нужно чересчур умничать: можете просто начать их решать любым способом, и вы сразу увидите, что решить их удается лишь при некоторых значениях . (Вспомните, что единственная величина, которая в этих уравнениях подлежит подгонке, это .)

Если, впрочем, вы хотите, чтобы все было по форме, перепишите (9.60) так:

.                                                  (9.61)

Затем примените правило (если оно вам знакомо), что эти уравнения будут иметь решения лишь для тех значений , для которых

.                                                    (9.62)

Каждый член в детерминанте — это просто , и только из диагональных отнято . Иначе говоря, (9.62) означает просто

. (9.63)

Это, конечно, всего-навсего особый способ записывать алгебраические уравнения для , складывая вереницы членов, перемножаемых в определенном порядке. Эти произведения дадут все степени  вплоть до .

Значит, у нас есть многочлен -й степени, который равняется нулю. У него, вообще говоря, есть  корней. (Нужно помнить, однако, что некоторые из них могут быть кратными корнями; это значит, что два или более корней могут быть равны друг другу) Обозначим эти  корней так:

                                            (9.64)

(пусть  обозначает -е порядковое числительное, так что  принимает значения ). Некоторые из этих энергий могут быть между собой равны, скажем , но мы решили все же обозначать их разными именами.

Уравнения (9.60) или (9.61) имеют по одному решению для каждого значения  [из (9.64)]. Если вы подставите любое из , скажем  в (9.60) и найдете все , то получится ряд чисел  , относящихся к энергии  . Этот ряд мы обозначим .

Если подставить эти  в (9.59), то получатся амплитуды  того, что состояния с определенной энергией находятся в базисном состоянии . Пусть  обозначает вектор состояния для состояния с определенной энергией при . Тогда можно написать

,

где

.                                       (9.65)

Полное состояние с определенной энергией  можно тогда записать так:

,

или

.                                     (9.66)

Векторы состояний  описывают конфигурацию состояний с определенной энергией, но с вынесенной зависимостью от времени. Это постоянные векторы, которые, если мы захотим, можно использовать в качестве новой базисной совокупности.

Каждое из состояний  обладает тем свойством (в чем легко убедиться), что при действии на него оператором Гамильтона  получится просто , умноженное на то же состояние:

.                                                 (9.67)

Значит, энергия  — это характеристическое число оператора Гамильтона . Как мы видели, у гамильтониана в общем случае бывает несколько характеристических энергий. Физики обычно называют их «собственными значениями» матрицы . Для каждого собственного значения , иными словами, для каждой энергии, существует состояние с определенной энергией, которое мы называли «стационарным». Состояния  обычно именуются «собственными состояниями ». Каждое собственное состояние отвечает определенному собственному значению .

Далее, состояния  (их  штук) могут, вообще говоря, тоже быть выбраны в качестве базиса. Для этого все состояния должны быть ортогональны в том смысле, что для любой пары их, скажем  и ,

                                                        .           (9.68)

Это выполнится автоматически, если все энергии различны. Кроме того, можно умножить все  на подходящие множители, чтобы все состояния были отнормированы: чтобы для всех  было

.                                                                     (9.69)

Когда оказывается, что (9.63) случайно имеет два (или больше) одинаковых корня с одной и той же энергией, то появляются небольшие усложнения. По-прежнему имеются две различные совокупности  отвечающие двум одинаковым энергиям,  но состояния, которые они дают, не обязательно ортогональны. Пусть вы проделали нормальную процедуру и нашли два стационарных состояния с равными энергиями. Обозначим их  и . Тогда они не обязательно окажутся ортогональными: если вам не повезло, то обнаружите, что

.

Но зато всегда верно, что можно изготовить два новых состояния (обозначим их  и  с теми же энергиями, но ортогональных друг другу:

.                                           (9.70)

Этого можно добиться, составив  и  из подходящих линейных комбинаций  и  с так подобранными коэффициентами, что (9.70) будет выполнено. Это всегда полезно делать, и мы будем вообще предполагать, что это уже проделано, так что можно будет считать наши собственно энергетические состояния  все ортогональными.

Для интереса докажем, что когда два стационарных состояния обладают разными энергиями, то они действительно ортогональны. Для состояния  с энергией

.                                                 (9.71)

Это операторное уравнение на самом деле означает, что имеется соотношение между числами. Если заполнить недостающие части, то  оно означает то же самое, что и

.                             (9.72)

Проделав здесь комплексное сопряжение, получим

.                                 (9.73)

Теперь вспомним, что комплексно сопряженная амплитуда — это амплитуда обратного процесса, так что (9.73) можно переписать в виде

.                                                  (9.74)

Поскольку это уравнение справедливо для всякого , то его можно «сократить» до

.                                   (9.75)

Это уравнение называется сопряженным с (9.71).

Теперь легко доказать, что  — число вещественное. Умножим (9.71) на . Получится

                                                  (9.76)

(с учетом, что ). Умножим теперь (9.75) справа на :

                                                (9.77)

Сравнивая (9.76) с (9.77),  видим, что

,                                                          (9.78)

а это означает, что  вещественно. Звездочку при  в (9.75) можно убрать.

Теперь наконец-то мы в силах доказать, что состояния с различными энергиями ортогональны. Пусть  и  — пара базисных состояний с определенными энергиями. Написав (9.75) для состояния  и умножив его на , получим

.

Но если (9.71) умножить на , то будет

.

Раз левые части этих уравнений равны, то равны и правые:

.                                                            (9.79)

Если , то это равенство ни о чем не говорит. Но если энергии двух состояний  и  различны , то уравнение (9.79) говорит, что  должно быть нулем, что мы и хотели доказать. Два состояния обязательно ортогональны, если только  и  отличаются друг от друга.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>