§ 6. Сложение моментов количества движения

Когда мы изучали сверхтонкую структуру атома водорода в гл. 10 (вып. 8), нам пришлось рассчитывать внутренние состояния системы, составленной из двух частиц - электрона и протона - со спинами 1/2. Мы нашли, что четверка возможных спиновых состояний такой системы может быть разбита на две группы - на тройку состояний с одной энергией, которая во внешнем поле выглядела как частица со спином 1, и на одно оставшееся состояние, которое вело себя как частица со спином 0. Иначе говоря, объединяя две частицы со спином 1/2, можно образовать систему, «полный спин» которой равен либо единице, либо нулю. В этом параграфе мы хотим рассмотреть на более общем уровне спиновые состояния системы, составленной из двух частиц с произвольными спинами. Это другая важная проблема, связанная с моментами количества движения квантовомеханической системы.

Перепишем сперва результаты гл. 10 для атома водорода в форме, которая позволит распространить их на более общий случай. Мы начали с двух частиц, которые теперь обозначим так: частица  (электрон) и частица  (протон). Спин частицы  был равен , а -компонента момента количества движения  могла принимать одно из нескольких значений (на самом деле два, а именно  или ). Точно так же спиновое состояние частицы  описывалось ее спином  и -компонентой момента количества движения . Из всего этого можно было составить несколько комбинаций спиновых состояний двух частиц. Например, из частицы  с  и частицы  с , можно было образовать состояние . Вообще, объединенные состояния образовывали систему, у которой «спин системы», или «полный спин», или «полный момент количества движения»  мог быть равен либо единице, либо нулю, а -компонента момента количества движения  могла равняться , 0 или  при  и нулю при . На этом новом языке формулы (10.41) и (10.42) можно переписать так, как показано в табл. 16.3.

Таблица 16.3 СОСТАВЛЕНИЕ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ДВУХ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ 1/2

Левый столбец таблицы описывает составное состояние через его полный момент количества движения  и -компоненту . Правый столбец показывает, как составляются эти состояния из значений  двух частиц  и .

Мы хотим обобщить этот результат на состояния, составленные из двух объектов  и  с произвольными спинами  и . Начнем с разбора примера, когда  и , а именно с атома дейтерия, в котором частица  - это электрон , а частица  - ядро, т. е. дейтрон . Тогда . Дейтрон образован из одного протона и одного нейтрона в состоянии с полным спином 1, так что . Мы хотим рассмотреть сверхтонкие состояния дейтерия, как мы сделали это для водорода. Поскольку у дейтрона может быть три состояния, , 0, , а у электрона - два, , то всего имеется шесть возможных состояний, а именно (используется обозначение ):

              (16.42)

Обратите внимание, что мы разверстали состояния согласно значениям суммы  и  в порядке ее убывания.

Спросим теперь: что случится с этими состояниями, если спроецировать их в другую систему координат? Если эту новую систему просто повернуть вокруг оси  на угол , то состояние  умножается на

.                      (16.43)

(Состояние можно считать произведением , и каждый вектор состояния независимо привнесет свой собственный экспоненциальный множитель.) Множитель (16.43) имеет форму , поэтому -компонента момента количества движения у состояния  окажется равной

.            (16.44)

Иначе говоря, -компонента полного момента количества движения есть сумма -компонент моментов количества движения отдельных частей.

Значит, в перечне состояний (16.42) верхнее состояние имеет , два следующих , затем два  и последнее состояние . Мы сразу же видим, что одной из возможностей для спина  объединенного состояния (для полного момента количества движения) должно быть 3/2, это потребует четырех состояний с  и .

На  есть только одни кандидат, и мы сразу видим, что

.                (16.45)

Но что является состоянием ? Кандидатов здесь два, они стоят во второй строчке (16.42), и всякая их линейная комбинация тоже даст . Значит, в общем случае можно ожидать, что

,                      (16.46)

где  и  - два числа. Их именуют коэффициенты Клебша-Гордона. Найти их и будет нашей очередной задачей.

И мы их легко найдем, если просто вспомним, что дейтрон состоит из нейтрона и протона, и в явном виде распишем состояния дейтрона, пользуясь правилами табл. 16.3. Если это проделать, то перечисленные в (16.42) состояния будут выглядеть так, как показано в табл. 16.4.

Таблица 16.4 СОСТОЯНИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ АТОМА ДЕЙТЕРИЯ

Пользуясь состояниями из этой таблицы, мы хотим образовать четверку состояний с . Но ответ нам уже известен, потому что в табл. 16.1 уже стоят состояния со спином 3/2, образованные из трех частиц со спином 1/2. Первое состояние в табл. 16.1 имеет , это , а в наших нынешних обозначениях это , или первое состояние из табл. 16.4. Но это состояние - то же самое, что первое по списку в (16.42), так что наше выражение (16.45) подтверждается. Вторая строчка в табл. 16.1 утверждает, если воспользоваться нашими теперешними обозначениями, что

      (16.47)

То, что стоит в правой части, можно, очевидно, составить из двух членов во второй строчке табл. 16.4, взяв  от первого члена и  от второго. Иначе говоря, (16.47) эквивалентно

.                (16.48)

Мы нашли два наших первых коэффициента Клебша-Гордона  и  [см. (16.46)]:

.                    (16.49)

Повторяя ту же процедуру, найдем

,                 (16.50)

а также, конечно,

.                (16.51)

Это и есть правила составления из спина 1 и спина 1/2 полного спина . Мы свели (10.45) и (16.50) в табл. 16.5.

Таблица 16.5 СОСТОЯНИЯ С  АТОМА ДЕЙТЕРИЯ

Но у нас пока есть только четыре состояния, а у системы, которую мы рассматриваем, их шесть.

Из двух состояний во второй строчке (16.42) мы для образования  составили только одну линейную комбинацию. Есть и другая линейная комбинация, ортогональная к ней, у нее тоже  и она имеет вид

.             (16.52)

Точно так же из двух состояний в третьей строке (16.42) можно скомбинировать два взаимно-ортогональных состояния, каждое с . То, которое ортогонально к (16.50), имеет вид

.             (16.53)

Это и есть два оставшихся состояния. У них ; эти состояния должны соответствовать . Итак, мы имеем

                (16.54)

Можно убедиться, что эти два состояния действительно ведут себя как состояния объекта со спином 1/2, для этого надо выразить дейтронную часть через нейтронные и протонные состояния (при помощи табл. 16.3). Первое состояние в (16.53) превратится в

,   (16.55)

а это можно переписать так:

             (16.56)

Посмотрите теперь на выражение в первых фигурных скобках и подумайте, что получается при объединении  и . Вместе они образуют состояние с нулевым спином (см. нижнюю строку в табл. 16.3) и не дают вклада в момент количества движения. Остался только нейтрон, значит, вся первая фигурная скобка (16.56) будет вести себя при поворотах как нейтрон, а именно как состояние с , .

Повторяя те же рассуждения, убедимся, что во вторых фигурных скобках (16.56) электрон и нейтрон объединяются, чтобы образовать нулевой момент количества движения, и остается только вклад протона - с . Скобка опять ведет себя как объект с , . Значит, и все выражение (16.56) преобразуется как , чего мы и хотели. Состояние , отвечающее формуле (16.56), можно расписать так (заменив везде, где нужно,  на ):

             (16.57)

Вы легко проверите, что это совпадает со второй строчкой в (16.54), как и полагается, если каждая скобка представляет собой одно из двух состояний системы со спином 1/2. Значит, наши результаты подтвердились. Дейтрон и электрон могут существовать в шести спиновых состояниях, четыре из которых ведут себя как состояния объекта со спином 3/2 (табл. 16.5), а два - как объект со спином 1/2 (16.54).

Результаты табл. 16.5 и уравнения (16.54) мы получили, воспользовавшись тем, что дейтрон состоит из нейтрона и протона. Правильность уравнений не зависит от этого особого обстоятельства. Для любого объекта со спином 1, объединяемого с объектом со спином 1/2, законы объединения (и коэффициенты) одни и те же. Совокупность уравнений в табл. 16.5 означает, что если система координат поворачивается, скажем, вокруг оси , так что состояния частицы со спином 1/2 и частицы со спином 1 изменяются согласно табл. 16.1 и 16.2, то линейные комбинации по правую сторону знака равенства будут изменяться так, как это свойственно объекту со спином 3/2. При таком же повороте состояния (16.54) будут меняться как состояния объекта со спином 1/2. Результаты зависят только от свойств относительно поворотов (т. е. от спиновых состояний) двух исходных частиц, но отнюдь не от происхождения их моментов количества движения. Мы этим происхождением воспользовались лишь для вывода формул, выбрав частный случай, в котором одна из составных частей сама состоит из двух частиц со спином 1/2 в симметричном состоянии. Все наши результаты мы свели в табл. 16.6, изменив индексы  и  на  и , чтобы подчеркнуть их общность.

Таблица 16.6 ОБЪЕДИНЕНИЕ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1/2  С ЧАСТИЦЕЙ СО СПИНОМ 1

Поставим теперь себе общую задачу найти состояния, которые можно образовать, объединяя два объекта с произвольными спинами. Скажем, у одного спин  (так что его -компонента  пробегает  значений от  до ), а у другого  (с -компонентой , пробегающей значения от  до ).

Объединенные состояния суть , их всего . Какие же состояния с полным спином  мы обнаружим?

Полная -компонента  момента количества движения равняется , и все состояния можно перечислить, опираясь на величину  [как в (16.42)]. Наибольшее  является единственным; оно отвечает значениям  и и равно попросту . Это означает, что наибольший полный спин  также равен сумме :

.

Следующему значению , меньшему чем  на единицу, будут соответствовать два состояния (либо , либо  меньше своих максимальных значений на единицу). Из них должно быть образовано одно состояние, принадлежащее совокупности с , и останется еще одно, которое будет принадлежать новой совокупности с . Следующее значение  (третье сверху) можно составить тремя путями (из , , из ,  и из , ). Два из них принадлежат к уже начавшим составляться группам; третье говорит нам, что надо включить в рассмотрение и состояния с . Такие рассуждения будут продолжаться до тех пор, пока уже нельзя будет, меняя то одно, то другое , получать новые состояния.

Пусть из  и  меньшим является (а если они одинаковы, возьмите любое из них); тогда понадобятся только  значений полного спина , идущих единичными шагами от  вниз к . Иначе говоря, когда объединяются два объекта со спинами  и , то полный момент количества движения  их системы может равняться одному из значений:

                     (16.58)

(Написав  вместо , мы можем избежать напоминания о том, что .)

Для каждого из этих значений  имеется  состояний с различными значениями ;  меняется от  до . Каждое из них образовано из линейных комбинаций исходных состояний  с соответствующими коэффициентами - коэффициентами Клебша-Гордона для каждого отдельного члена. Можно считать, что эти коэффициенты дают «количество» состояния , проявляющегося в состоянии . Так что каждый из коэффициентов Клебша-Гордона обладает, если угодно, шестью индексами, указывающими его положение в формулах типа приведенных в табл. 16.3 и 16.6. Иначе говоря, обозначая, скажем, эти коэффициенты , можно выразить равенство во второй строчке табл. 16.6 так:

Мы не будем здесь подсчитывать коэффициенты для других частных случаев. Но вы обнаружите такие таблицы во многих книжках. Попробуйте сами подсчитать другой случай, например объединение двух объектов со спином 1. Мы же просто привели в табл. 16.7 окончательный результат.

Таблица 16.7 ОБЪЕДИНЕНИЕ ДВУХ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ 1

Эти законы объединения моментов количества движения имеют очень важное значение в физике частиц, их приложениям поистине нет конца. К сожалению, у нас нет сейчас больше времени на другие примеры.

 

Добавление 1. Вывод матрицы поворота

 

Для тех, кто хотел бы разобраться в этом поподробнее, мы вычислим сейчас общую матрицу поворота для системы со спином (полным моментом количества движения) . В расчете общего случая на самом деле большой необходимости нет; важно понять идею, а все результаты вы сможете найти в таблицах, которые приводятся во многих книжках. Но, с другой стороны, вы зашли уже так далеко, что у вас, естественно, может возникнуть желание убедиться, что вы и впрямь в состоянии понять даже столь сложные формулы квантовой механики, как (16.35).

Расширим рассуждения § 4 на систему со спином , которую будем считать составленной из  объектов со спином 1/2. Состояние с  имело бы вид  (с  плюсами). Для  было бы  членов типа ,  и т. д. Рассмотрим общий случай, когда имеется  плюсов и  минусов, причем . При повороте вокруг оси  от каждого из  плюсов появится множитель . В итоге фаза изменится на . Мы видим, что

.                  (16.59)

Как и в случае , каждое состояние с определенным  должно быть суммой всех состояний с одними и теми же  и , взятых со знаком плюс, т. е. состояний, отвечающих всевозможным перестановкам с  плюсами и  минусами. Мы считаем, что вам известно, что всего таких сочетаний есть . Чтобы нормировать каждое состояние, надо эту сумму разделить на корень квадратный из этого числа. Можно написать

                 (16.60)

где

.                  (16.61)

Введем еще новые обозначения, они нам помогут в счете. Ну а поскольку мы уж определили состояния при помощи (16.60), то два числа  и  определяют состояние ничуть не хуже, чем  и . Мы легче проследим за выкладками, если обозначим

,               (16.62)

где [см. (16.61)]

.

Далее, (16.60) мы запишем, пользуясь специальным обозначением

.             (16.63)

Обратите внимание, что показатель степени в общем множителе мы изменили на . Это оттого, что внутри фигурных скобок в (16.60) стоит как раз  слагаемых. Если сопоставить (16.63) с (16.60), то ясно, что

- это краткая запись выражения

,

где  - количество различных слагаемых в скобках. Эти обозначения удобны тем, что каждый раз при повороте все знаки плюс вносят один и тот же множитель, так что в итоге он получается в -й степени. Точно так же все знаки минус дадут некоторый множитель в -й степени, в каком бы порядке эти знаки ни стояли.

Теперь положим, что мы повернули нашу систему вокруг оси  на угол . Нас интересует . Оператор , действуя на каждый , дает

,                  (16.64)

где  и . Когда же  действует на , это приводит к

.

Так что искомое выражение равно

(16.65)

Теперь надо возвысить биномы в степень и перемножить. Появятся члены со всеми степенями  от нуля до . Посмотрим, какие члены дадут -ю степень . Они всегда будут сопровождаться множителем типа , где . Соберем их вместе. Получится сумма членов типа  с численными коэффициентами , куда входят коэффициенты биномиального разложения вместе с множителями  и . Уравнение (16.65) тогда будет выглядеть так:

.                        (16.66)

Теперь разделим каждое  на множитель  и обозначим частное через . Тогда (16.66) превратится в

.              (16.67)

[Можно просто сказать, что требование, чтобы (16.67) совпадало с (16.65), определяет .]

Если так определить , то оставшиеся множители в правой части (16.67) будут как раз состояниями . Итак, имеем

,                     (16.68)

где  всегда равняется . А это, конечно, означает, что коэффициенты  и есть искомые матричные элементы

.               (16.69)

Теперь, чтобы найти , остается немного: лишь пробиться через алгебру.

Сравнивая (16.67) с (16.65) и вспоминая, что , мы видим, что  - это просто коэффициент при  в выражении

.                (16.70)

Осталась лишь нудная работа разложить скобки по биному Ньютона и собрать члены с данными степенями  и . Если вы все это проделаете, то увидите, что коэффициент при  в (16.70) имеет вид

.                       (16.71)

Сумма берется по всем целым , при которых аргументы факториалов больше или в крайнем случае равны нулю. Это выражение и есть искомый матричный элемент.

В конце надо вернуться к нашим первоначальным обозначениям ,  и , пользуясь формулами

.

Проделав эти подстановки, получим уравнение (16.34) из § 4.

 

Добавление 2. Сохранение четности при испускании фотона

 

В § 1 мы рассмотрели испускание света атомом, который переходит из возбужденного состояния со спином 1 в основное состояние со спином 0. Если спин возбужденного состояния направлен вверх , то атом может излучить вверх вдоль оси  правый фотон или вдоль оси  левый. Обозначим эти два состояния фотона и Ни одно из них не обладает определенной четностью. Если оператор четности обозначить , то  и .

Что же тогда будет с нашим прежним доказательством, что атом в состоянии с определенной энергией должен иметь определенную четность, и с нашим утверждением, что четность в атомных процессах сохраняется? Разве не должно конечное состояние в этой задаче (состояние после излучения фотона) иметь определенную четность? Да, должно, если только мы рассмотрим полное конечное состояние, в которое входят амплитуды излучения фотонов под всевозможными углами. А в § 1 мы рассматривали только часть полного конечного состояния.

Если вы хотите, можно рассмотреть только конечные состояния, у которых действительно определенная четность. Например, рассмотрим конечное состояние , у которого есть некоторая амплитуда  оказаться правым фотоном, движущимся вдоль оси , и некоторая амплитуда  оказаться левым фотоном, движущимся вдоль оси . Можно написать

.                    (16.72)

Оператор четности, действуя на это состояние, дает

.                 (16.73)

Это состояние совпадает с  либо при , либо при . Так что конечное состояние с положительной четностью таково:

,                    (16.74)

а состояние с отрицательной четностью

.                    (16.75)

Далее, мы хотим рассмотреть распад возбужденного состояния с отрицательной четностью на основное состояние с положительной четностью и на фотон. Если четность должна сохраниться, то конечное состояние фотона должно иметь отрицательную четность. Оно обязано быть состоянием (16.75). Если амплитуда того, что будет обнаружено , есть , то амплитуда того, что будет обнаружено , есть .

Теперь обратите внимание на то, что получается, если мы проводим поворот на 180° вокруг оси . Начальное возбужденное состояние атома становится состоянием с  (согласно табл. 15.2, знак не меняется). А поворот конечного состояния дает

.                (16.76)

Сравнивая это с (16.75), мы увидим, что при выбранной нами четности конечного состояния амплитуда того, что при начальном состоянии с  будет получен левый фотон, идущий в направлении , равна со знаком минус амплитуде того, что при начальном состоянии с  будет получен правый фотон, идущий в направлении . Это согласуется с результатами, полученными в § 1.