§ 4. Оператор места

Каково среднее местоположение электрона в атоме? В данном состоянии  каково среднее значение координаты ? Разберем одномерный случай, а обобщение на трехмерный или на системы с большим числом частиц останется на вашу долю. Мы имеем состояние, описываемое функцией , и продолжаем раз за разом измерять . Что получится в среднем? Очевидно, , где  – вероятность обнаружить электрон в небольшом элементе длины  возле . Пусть плотность вероятности  меняется с  так, как показано на фиг. 18.1. Вероятнее всего вы обнаружите электрон где-то возле вершины кривой. Среднее значение  тоже придется куда-то на область невдалеке от вершины, а точнее, как раз на центр тяжести площади, ограниченной кривой.

Фиг. 18.1. Кривая плотности вероятности, представляющей локализованную частицу.

Мы видели раньше, что , значит, среднее  можно записать в виде

.                 (18.33)

Наше уравнение для  имеет тот же вид, что (18.18). Когда мы считали среднюю энергию, мы ставили между двумя  оператор , а когда считаем среднее положение, ставим просто . (Если угодно, можете рассматривать  как алгебраический оператор «умножь на ».) Эту параллель можно провести еще дальше, выразив среднее местоположение в форме, которая соответствует уравнению (18.18). Предположим, что мы просто написали

,                      (18.34)

где

,                (18.35)

и смотрим, не удастся ли найти такой оператор , чтобы он создавал состояние , при котором уравнение (18.34) не противоречит уравнению (18.33). Иначе говоря, мы должны найти такое , чтобы было

.                       (18.36)

Разложим сперва  по -представлению:

.               (18.37)

Сравним затем интегралы в (18.36) и (18.37). Вы видите, что в -представлении (и только в этом представлении)

.                  (18.38)

Воздействие на  оператора  для получения  равнозначно умножению  на  для получения . Перед нами определение оператора  в координатном представлении.

(Мы не задавались целью получить -представление матрицы оператора . Если вы честолюбивы, попытайтесь показать, что

.                       (18.39)

Тогда вы сможете доказать поразительную формулу

,               (18.40)

т. е. что оператор  обладает интересным свойством: когда он действует на базисное состояние , то это равнозначно умножению на .)

А может, вы хотите знать среднее значение ? Оно равно

.             (18.41)

Или, если желаете, можно написать и так:

,

где

.             (18.42)

Под  подразумевается  – два оператора применяются друг за другом. С помощью (18.42) можно подсчитать , пользуясь каким угодно представлением (базисными состояниями). Если вам нужно знать среднее значение  или любого многочлена по , то вы легко это теперь проделаете.