§ 3. Два рода импульсов

Уравнение для тока довольно интересно, хотя порой причиняет немало забот. Ток можно было бы считать чем-то вроде произведения плотности частиц на скорость. Плотность выглядела бы как , так что здесь все в порядке. Каждый член в (19.12) напоминает типичное выражение для среднего значения оператора

.                     (19.13)

Поэтому, быть может, следовало бы рассматривать его как скорость потока? Но тогда получается, что скорость с импульсом можно связать двояким образом, ведь с равным правом можно было бы считать, что скоростью должно быть отношение импульса к массе . Эти две возможности разнятся на вектор-потенциал.

Оказывается, те же две возможности имелись еще в классической физике, и в ней тоже было найдено, что импульс можно определить двумя путями. Один можно назвать «кинематическим импульсом», но для абсолютной ясности я в этой лекции буду его называть «-импульсом». Это импульс, получаемый от перемножения массы на скорость. Другой, более математичный, более отвлеченный импульс, именуемый иногда «динамическим импульсом», а я его буду называть «-импульс». Итак, у нас есть две возможности:

,               (19.14)

.                       (19.15)

И вот оказывается, что в квантовой механике, включающей магнитные поля, с оператором градиента  связан именно -импульс, так что оператор скорости это (19.13).

Здесь я хотел бы немного отклониться от темы и пояснить, почему так получается – отчего в квантовой механике должно быть нечто похожее на (19.15). Волновая функция меняется со временем, следуя уравнению Шредингера (19.3). Если бы я внезапно изменил векторный потенциал, то в первое мгновение волновая функция не изменилась бы, а изменилась бы только скорость ее изменения. Теперь представьте себе, что случится в следующих обстоятельствах. Пусть имеется длинный соленоид, в котором я создаю поток магнитного поля (поля ), как показано на фиг. 19.2. А поблизости сидит заряженная частица. Допустим, что этот поток почти мгновенно с нуля вырастает до какого-то значения. Сперва векторный потенциал равен нулю, а потом я его включаю. Это означает, что я внезапно создаю круговой вектор-потенциал . Вы помните, что криволинейный интеграл от  вдоль петли это то же самое, что поток поля  сквозь петлю [см. гл. 14, § 1 (вып. 5)]. И что же происходит, когда я мгновенно включаю векторный потенциал? Согласно квантово- механическому уравнению, внезапное изменение  не вызывает внезапного изменения ; волновая функция пока та же самая. Значит, и градиент не изменился.

Фиг. 19.2. Электрическое поле снаружи соленоида, ток в котором увеличивается.

Но вспомните, что происходит электрически, когда я внезапно включаю поток. В течение краткого времени, пока поток растет, возникает электрическое поле, контурный интеграл от

которого равен скорости изменения потока во времени

.                  (19.16)

Если поток резко меняется, то электрическое поле достигает огромной величины и оказывает сильное воздействие на частицу. Эта сила равна произведению заряда на электрическое поле; стало быть, в момент появления потока частица получает полный импульс (т. е. изменение в ), равный . Иными словами, если вы подействуете на заряд векторным потенциалом, включив его внезапно, то этот заряд немедленно схватит -импульс, равный . Но имеется нечто, не меняющееся немедленно, - это разность между  и . Стало быть, сумма  и есть то, что не меняется, если вы подвергаете вектор-потенциал внезапному изменению. Именно эту величину мы именуем -импульсом, именно она играет важную роль в классической динамике; она же оказывается существенной и в квантовой механике. Эта величина зависит от характера волновой функции и является преемником оператора

при наличии магнитного поля.