§ 7. Захват нерегулярностями решетки

Бывает и другой интересный случай. Он может возникнуть, когда  число отрицательное. Если энергия электрона в атоме примеси (при ) ниже, чем где-либо в другом месте, то электрон может оказаться захваченным этим атомом. Иначе говоря, если  ниже самого низа полосы (меньше, чем ), тогда электрон может оказаться «пойманным» в состояние с . Из всего того, что мы делали до сих пор, такое решение не могло получиться. Но это решение можно получить, если в пробном решении (11.15) разрешить  принимать мнимые значения. Положим . Для  и для  у нас опять будут разные решения. Для  допустимое решение могло бы иметь вид

.                    (11.39)

В экспоненте мы выбрали плюс; иначе амплитуда при больших отрицательных  стала бы бесконечно большой. Точно так же допустимое решение для  имело бы вид

.                   (11.40)

Если подставить эти пробные решения в (11.28), то они удовлетворят всем уравнениям, кроме средней тройки, при условии, что

.                    (11.41)

А раз сумма этих двух экспонент всегда больше 2, то эта энергия оказывается за пределами (ниже) обычной полосы. Это-то мы и искали. Оставшейся тройке уравнений (11.28) удастся удовлетворить, если взять  и если  выбрать так, чтобы

.             (11.42)

Сопоставив это уравнение с (11.41), найдем энергию захваченного электрона

.                        (11.43)

Захваченный электрон обладает одной-единственной энергией (а не целой полосой); она расположена несколько ниже полосы проводимости.

Заметьте, что амплитуды (11.39) и (11.40) не утверждают, что пойманный электрон сидит прямо в атоме примеси. Вероятность обнаружить его у одного из соседних атомов дается квадратом этих амплитуд. Изменение ее показано столбиками на фиг. 11.7 (при каком-то наборе параметров). С наибольшей вероятностью электрон можно встретить близ атома примеси. Для соседних атомов вероятность спадает экспоненциально по море удаления от атома примеси. Это новый пример «проникновения через барьер». С точки зрения классической физики электрону не хватило бы энергии, чтобы удалиться от энергетической «дырки» близ центра захвата. Но квантовомеханически он может куда-то недалеко просочиться.

Фиг. 11.7. Относительные вероятности обнаружить захваченный электрон в атомных узлах поблизости от примесного атома-ловушки.