1.6. Операции над матрицами и векторами

В системе MatLab достаточно просто выполняются математические операции над матрицами и векторами. Рассмотрим сначала простые операции сложения и умножения матриц и векторов. Пусть даны два вектора

a = [1 2 3 4 5]; % вектор-строка b = [1; 1; 1; 1; 1]; % вектор-столбец

тогда умножение этих двух векторов можно записать так

c = a*b; % c=1+2+3+4+5=16 d = b*a; % d – матрица 5х5 элементов

В соответствии с операциями над векторами, умножение вектор-строки на вектор-столбец дает число, а умножение вектор-столбца на вектор-строку дает двумерную матрицу, что и является результатом вычислений в приведенном примере, т.е.

Сложение и вычитание двух векторов записывается так

a1 = [1 2 3 4 5]; a2 = [5 4 3 2 1]; c = a1+a2; % c = [1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1]; с = a2-a1; % c = [5-1, 4-2, 3-3, 2-4, 1-5];

Следует обратить внимание, что операции сложения и вычитания можно выполнять между двумя векторами-столбцами или двумя векторами-строками. Иначе MatLab выдаст сообщение об ошибке, т.к. разнотипные векторы складывать нельзя. Так обстоит дело со всеми недопустимыми арифметическими операциями: в случае невозможности их вычисления система MatLab сообщит об ошибке и выполнение программы будет завершено на соответствующей строке.

Аналогичным образом выполняются операции умножения и сложения между матрицами:

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; B = ones(3); C = A+B; % сложение двух матриц одинакового размера D = A+5; % сложение матрицы и числа E = A*B; % умножение матрицы А на В F = B*A; % умножение матрицы В на А G = 5*A; % умножение матрицы на число

Операции вычисления обратной матрицы, а также транспонирования матриц и векторов, записываются следующим образом:

a = [1 1 1]; % вектор-строка b = a’; % вектор-столбец, образованный % транспонированием вектора-строки а. A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; % матрица 3х3 элемента B = a*A; % B = [12 15 18] – вектор-строка C = A*b; % C = [6; 15; 24] – вектор-столбец D = a*A*a’; % D = 45 – число, сумма эл-ов матрицы А E = A’; % E – транспонированная матрица А F = inv(A); % F – обратная матрица А G = A^-1; % G – обратная матрица А

Из приведенного примера видно, что операция транспонирования матриц и векторов обозначается символом ‘ (апостроф), который ставится после имени вектора или матрицы. Вычисление обратной матрицы можно делать путем вызова функции inv() или возводя матрицу в степень -1. Результат в обоих случаях будет одинаковым, а два способа вычисления сделано для удобства использования при реализации различных алгоритмов.

Если в процессе вычислений требуется поэлементно умножить, разделить или возвести в степень элементы вектора или матрицы, то для этого используются операторы:

.* - поэлементное умножение;
./ и .\ - поэлементные деления;
.^ - поэлементное возведение в степень.

Рассмотрим работу данных операторов на следующем примере.

a = [1 2 3]; % вектор-строка b = [3 2 1]; % вектор-строка c = a.*b; % c = [3 4 3] A = ones(3); % матрица 3х3, состоящая из единиц B = [1 2 3;4 5 6; 7 8 9]; % матрица 3х3 C = A.*B; % матрица 3х3, состоящая из D = A./B; % матрица 3х3, состоящая из E = A.\B; % матрица 3х3, состоящая из F = A.^2; % возведение элементов матрицы А в квадрат

В заключении данного параграфа рассмотрим несколько функций полезных при работе с векторами и матрицами.

Для поиска максимального значения элемента вектора используется стандартная функция max(), которая возвращает найденное максимальное значение элемента и его позицию (индекс):

a = [1 6 3 4]; [v, i] = max(a); % v = 6, i = 2;

или

v = max(a); % v = 6;

Приведенный пример показывает два разных способа вызова функции max(). В первом случае определяется и максимальное значение элемента и его индекс в векторе, а во втором – только максимальное значение элемента.

В случае с матрицами, данная функция определяет максимальные значения, стоящие в столбцах, как показано ниже в примере:

A = [4 3 5; 6 7 2; 3 1 8]; [V, I] = max(A); % V=[6 7 8], I = [2 2 3] V = max(A); % V=[6 7 8]

Полный синтаксис функции max() можно узнать, набрав в командном окне MatLab команду

help <название функции>

Аналогичным образом работает функция min(), которая определяет минимальное значение элемента вектора или матрицы и его индекс.

Другой полезной функцией работы с матрицами и векторами является функция sum(), которая вычисляет сумму значений элементов вектора или столбцов матрицы:

a = [3 5 4 2 1]; s = sum(a); % s = 3+5+4+2+1=15 A = [4 3 5; 6 7 2; 3 1 8]; S1 = sum(A); % S1=[13 11 15] S2 = sum(sum(A)); % S2=39

При вычислении суммы S2 сначала вычисляется сумма значений элементов матрицы А по столбцам, а затем, по строкам. В результате, переменная S2 содержит сумму значений всех элементов матрицы А.

Для сортировки значений элементов вектора или матрицы по возрастанию или убыванию используется функция sort() следующим образом:

a = [3 5 4 2 1];

b1 = sort(a); % b1=[1 2 3 4 5] b2 = sort(a, ‘descend’); % b2=[5 4 3 2 1] b3 = sort(a, ‘ascend’); % b3=[1 2 3 4 5]

для матриц

A = [4 3 5; 6 7 2; 3 1 8]; B1 = sort(A); % B1=[3 1 2 % 4 3 5 % 6 7 8] B2 = sort(A, ‘descend’); % B2=[6 7 8 % 4 3 5 % 3 1 2]

Во многих практических задачах часто требуется найти определенный элемент в векторе или матрице. Это можно выполнить с помощью стандартной функции find(), которая в качестве аргумента принимает условие, в соответствии с которым и находятся требуемые элементы, например:

a = [3 5 4 2 1]; b1 = find(a == 2); % b1 = 4 – индекс элемента 2 b2 = find(a ~= 2); % b2 = [1 2 3 5] – индексы без 2 b3 = find(a > 3); % b3 = [2 3]

В приведенном примере символ ‘==’ означает проверку на равенство, а символ ‘~=’ выполняет проверку на неравенство значений элементов вектора а. Более подробно об этих операторах будет описано в разделе условные операторы.

Еще одной полезной функцией работы с векторами и матрицами является функция mean() для вычисления среднего арифметического значения, которая работает следующим образом:

a = [3 5 4 2 1]; m = mean(a); % m = 3 A = [4 3 5; 6 7 2; 3 1 8]; M1 = mean(A); % M1 = [4.333 3.667 5.000] M2 = mean(mean(A)); % M2 = 4.333