УДК 621.391.8
В.Н.Васюков

СПЕКТР ДВУМЕРНОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, НАБЛЮДАЕМОЙ В ОБЛАСТИ ОГРАНИЧЕННОЙ ПРОТЯЖЕННОСТИ

При решении некоторых задач, связанных с анализом и синтезом цифровых сигналов и систем, нужно знать структуру дискретного преобразования Фурье (ДПФ) цифрового (дискретного) сигнала. В частности, при анализе текстурных изображений с высокорегулярной текстурой [1] желательно иметь аналитическое выражение для ДПФ периодического дискретного сигнала (последовательности) при условии, что последовательность рассматривается в области ограниченной протяженности. Ниже получено общее выражение для ДПФ периодической последовательности, наблюдаемой в области конечной протяженности при произвольной матрице периодичности [2].

Предположим, что  – двумерная последовательность, определённая на прямоугольной решётке ; , что соответствует традиционному представлению дискретных сигналов. Предположим также, что при значениях индексов, находящихся в указанных пределах, последовательность  периодическая, т.е.

,   (1)

где  – вектор-столбец целочисленных координат текущей точки;  – символ транспонирования:  – произвольный вектор-столбец с целыми компонентами  и ;

 -

матрица периодичности с целыми коэффициентами .

Для нахождения структуры ДПФ такой последовательности примем следующую модель её формирования (рисунок).

 

 

Согласно этой модели, двумерная периодическая последовательность  получается путём дискретизации с шагом  по обеим координатам непрерывного двумерного периодического поля . Отметим, что это предполагает финитность спектра поля , то есть ограниченность полос обеих пространственных частот значением . Двумерная последовательность  получается умножением  на последовательность прямоугольного «окна»

Поскольку в результате требуемого вида (периодическая в прямоугольном окне), то, проследив изменения спектр.) исходного поля  при таких преобразованиях, можно получить аналитическое выражение для ДПФ последовательности .

Двумерное поле  представляет собой функцию двух переменных, такую, что продукт ее дискретизации (прямоугольной равномерной с шагом ) по обеим переменным удовлетворяет условию периодичности (1). Отсюда следует, что поле  должно удовлетворять условию

где для удобства используется матричная запись аргумента функции

.

Таким образом, поле  периодично, причем период представляет собой параллелограмм, построенный на векторах  и  в плоскости .

В силу периодичности поле  может быть представлено рядом Фурье

где в показатель экспоненты входит скалярное произведение  двумерного вектора пространственных частот, соответствующего -й компоненте ряда, и вектора , определенного выше. Учитывая, что   комплексная экспоненциальная функция имеет спектральную плотность в

виде -функции сосредоточенную на плоскости пространственных частот в точке, определяемой вектором , можно зашибать выражение для поля

,

где интегрирование выполняется по всей частотной плоскости, т.е. по обеим компонентам вектора , а спектральная плотность  представляет собой совокупность  функций расположенных на частотной плоскости внутри квадрата со

стороны стороной  и центром в начале координат (согласно предположению о финитниости спектра поля ).

Для уточнения вида спектральной плотности  заметим, что условие (2) означает для всех i, j,

exp,

откуда следует, в свою очередь,

для всех  при любом целом . Нетрудно видеть, что это означает

,  (3)

где  - вектор-строка с целыми компонентами. Полагая, что матрица  невырождена (что эквивалентно требованию, чтобы период поля  был параллелограммом ненулевой площади), и умножая обе части (3) справа на обратную матрицу , получим

, где ,

Таким образом, спектральная плотность  периодического поля  представляет собой совокупность функций, расположенных на частотной плоскости в точках, координаты которых  удовлетворяют уравнению  причем целые компоненты вектора к должны быть такими, чтобы не нарушалось условие ограниченности пространственных частот значениями , а матрица  однозначно определяется матрицей периодичности . Учитывая сказанное, можно записать

.

Дискретизация поля  приводит к периодическому повторению спектральной плотности плотности  в частотной плоскости с шагом  по осям  и . Спектральная плотность , получаемая таким образом, соответствует -периодическому дискретному полю :

,        (4)

где компоненты ,  вектора  пробегают все иелочнс ленные значения.

Умножению последовательности  на окно  соответствует в частотной области свертка спектральной плотности  с функцией , представляющей собой преобразование Фурье окна, поэтому, с учетом свойств -функции спектральная плотность последовательности

.     (5)

Выражение (5) определяет функцию непрерывной (двумерной) частоты - спектральную плотность периодической двумерной последовательности , наблюдаемой в окне  конечной протяженности. Заметим, что окно  не обязано быть прямоугольным, но может описывать текстурную область произвольной формы. Более того, значения последовательности  также могут быть произвольными.

Чтобы перейти от непрерывной спектральной плотности  последовательности  к выражению для ДПФ этой же последовательности, необходимо учесть, что значения ДПФ получаются дискретизацией спектральной плотности, т.е. заменой непрерывных аргументов  и  дискретными значениями,

; .

Принимая для простоты . запишем окончательное выражение для ДПФ периодической двумерной последовательности , наблюдаемой в окне  конечной протяженности,

.       (6)

Полученное выражение может быть упрощено, если N велико: при этом функция  убывает быстро, и можно не учитывать наложение свертки от соседних периодов спектральной плотности (4); тогда можно опустить в выражениях (4),(5) и (6) сумму по .

 

Библиографический список

1.                     Прэтт.У. Цифрован обработка изображений. М.: Мир, 1982. т.2. 480 С.

2.                     Даджнон.Д., Мерсеро.Р. Цифровая обработка многомерных сигналов. М.: Мир, 1988. 488 С.