<< Предыдущая Список Следующая >>


13. Восстановление авторегрессионных последовательностей на основе вейвлет-преобразования

Рассмотрим задачу восстановления авторегрессионных случайных последовательностей (СП) по дискретным отсчетам , , где  - число наблюдений. При , где  - значение СП в точке ;  - гауссовская случайная величина с  и , известны оптимальные методы оценивания. Однако в случае , где  - вектор весовых коэффициентов;  - функция окна, восстановление последовательности соответствует обратному вейвлет-преобразованию (ВП) и, как правило, приводит к лучшим результатам в смысле минимума дисперсии ошибки. Найдем оптимальный алгоритм оценивания из условия минимума дисперсии ошибки оценивания при известном :

,                         (1)

где  -  матрица формирования наблюдений ;  - длина последовательности;  - вектор коэффициентов фильтра, который требуется найти. После дифференцирования выражения (1) по  получаем:

.  (2)

Вычислим математическое ожидание, учитывая, что шум наблюдения  некоррелирован с элементами вектора :

,                           (3)

где  - ковариационная матрица вектора ;  - взаимная корреляция оцениваемого элемента и вектора ;  - диагональная матрица дисперсий шума наблюдений. Дисперсия ошибки оценивания определяется выражением

.      (4)

Анализ выражений (3) и (4) показывает, что они соответствуют оптимальному фильтру Винера при , где матрица  только выделяет элементы наблюдений вектора . Сравним дисперсии ошибок оценивания вектора  размером 64 элемента в случае винеровской оценки и ВП Хаара при . На рис. 1 представлены дисперсии ошибок оценивания, вычисленные по формуле (4) при разных дисперсиях шума наблюдения и коэффициентах корреляции. Наблюдения располагаются в первой и последней позициях вектора .

 

Анализ данных рис. 1 показывает меньшее значение дисперсии ошибок оценивания при ВП для большинства отсчетов вектора  по сравнению с винеровской оценкой. Это объясняется тем, что в наблюдениях  при  содержится информация о соседних отсчетах, которые отсутствуют на момент восстановления. Такое оценивание можно реализовать в случаях когда имеется возможность сформировать соответствующий вектор наблюдений до момента оценивания, например при передаче данных по каналам связи и их коррекции по ранее сформированным наблюдениям на приемной стороне.

Данный метод оценивания можно реализовать на основе векторного фильтра Калмана. Так как выражение (3) для вычисления оптимальных коэффициентов соответствует формуле калмановского оценивания

,                        (5)

где  -  матрица выделения множества наблюдений;  -  матрица дисперсий ошибок экстраполяции, то аналог векторного фильтра Калмана можно записать в виде:

.                    (6)

Выражение (6) позволяет выполнять рекуррентное оценивание случайных полей на основе предложенного метода.

Дисперсия ошибок оценивания зависит как от вектора  так и от вектора весовых коэффициентов . Для вычисления оптимальных значений этих векторов можно продифференцировать выражение (1) по  и . В результате получается система нелинейных матричных уравнений, аналитическое решение которых является сложной задачей. Однако в случае одного наблюдения можно получить равномерное распределение дисперсии ошибок оценивания для всех отсчетов вектора . Из выражения (4) следует, что для этого нужно выбрать . На рис. 2 показано распределение дисперсии ошибок оценивания для данного случая и фильтра Винера.

 

Особенностью такого подхода к оцениванию является то, что задача наилучшей расстановки наблюдений  для минимизации дисперсии ошибки сводится к задаче поиска вектора . Одним из спосбов вычисления  может стать итерационная процедура

,                                            (7)

где  - номер наблюдения;  - длина вектора  -го наблюдения;  - шаг изменения значений;  - номер итерации. Из формул (3) и (4) следует, что для уменьшения максимальной дисперсии нужно в точке максимума увеличивать вес соответствующего отсчета вектора . В качестве начальных условий элементы  можно выбрать , а размер области весового суммирования , где  - знак округления до ближайшего целого. Области суммирования  не пересекаются и наблюдения  содержат информацию о всех отсчетах сигнала. Для выравнивания дисперсии ошибок, в пределах каждого окна  определяется максимальное значение дисперсии по формуле (3) и увеличивается соответствующее значение вектора , что приводит к увеличению суммы значений элементов. Поэтому вектор  нормируется согласно формуле

,

где  - сумма значений элементов вектора .

Результаты работы предложенного алгоритма при , ,  и числе итераций  представлены на рис. 3.

Рис. 3. Распределение дисперсий ошибок оценивания:

1 – дисперсии после 1 итерации;

2 – дисперсии после 200 итераций

 

Анализ результатов рис. 3 показывает выравнивание дисперсии в пределах окна весового суммирования . Однако распределение в целом остается неравномерным. Вместе с тем уменьшить максимальную дисперсию возможно за счет центральных наблюдений если перераспределить веса  в пользу краевых отсчетов. В этом случае необходимо изменять только тот элемент вектора , которому соответствует максимальное значение дисперсии:

,                                         (8)

где  - индекс элемента вектора , которому соответствует максимальное значение дисперсии. Нормировка весовых коэффициентов осуществляется по формулам:

,

,                                             (9)

.

При таком подходе сумма коэффициентов векторов  может отличаться. Однако сумма коэффициентов всех векторов постоянна. Таким образом веса перераспределяются в пользу краевых наблюдений и достигается более равномерное распределение дисперсий ошибок оценивания и минимизируется максимальная дисперсия. На рис. 4 представлены результаты работы данного алгоритма при ,  и .

Рис. 4. Распределение дисперсий ошибок оценивания:

1 – винеровское оценивание при оптимальном расположении наблюдений;

2 – оценивание на основе ВП с  вычисленными по формулам (8) и (9)

Анализ данных рис. 4 показывает почти равномерное распределение дисперсий при оценивании на основе ВП с  найденными по формулам (8) и (9) и меньшим значением максимальной дисперсии по сравнению с винеровским оцениванием при оптимальном расположении наблюдений. Это достигается за счет увеличения суммы коэффициентов векторов  краевых наблюдений . При этом сумма всех коэффициентов остается постоянной. Таким образом описанный алгоритм позволяет подбирать векторы  так, чтобы минимизировалась максимальная дисперсия, а распределение стремилось к равномерному.

Описанные алгоритмы могут быть обобщены на многомерный случай.

 

 


<< Предыдущая Список Следующая >>