<< Предыдущая Список Следующая >>


16. Оптимальное ортогональное разложение конечных дискретных сигналов

На практике часто встречаются задачи наилучшего восстановления сигналов по низкочастотным коэффициентам разложения. В частности для ортогональных базисных функций известно оптимальное преобразование Карунена-Лоэва, которое дает наилучшее восстановление сигнала, в смысле минимума суммарной квадратической ошибки, по низкочастотным коэффициентам. У этого преобразования существует два недостатка: отсутствие быстрого алгоритма вычисления и необходимость знания КФ анализируемого сигнала. Поэтому анализ многих реальных сигналов, у которых не известны статистические свойства, этим алгоритмом крайне затруднителен. В связи с этим существует задача поиска наилучшего вида ортогональных базисных векторов, которые для реальных сигналов обеспечивают оптимальное восстановление по низкочастотным коэффициентам.

Рассмотрим задачу, известную в области сжатия изображений, когда вектор сигнала  разбивается на равные непересекающиеся блоки , обычно по 8 отсчетов, каждый из которых раскладывается по базисным векторам, а затем восстанавливается по низкочастотным коэффициентам. Требуется по известным отсчетам сигналов  найти наилучшее ортогональное преобразование для них. Первый базисный вектор следует выбрать так, чтобы он выделял среднее значение сигнала . Кроме того, будем полагать, что соответствующие базисные векторы анализа и синтеза равны между собой с нормой равной 1. Так как базисные векторы  должны обеспечивать минимум квадратической ошибки, то для  можно записать следующее условие:

,                           (1)

где  - проекция сигнала  на базисный вектор , т.е. . Для удобства обозначим разность  через . Оптимальный вектор  можно найти путем дифференцирования (1) и приравнивания результата нулю:

,

откуда

.                                  (2)

Выражение (2) определяет оптимальный базисный вектор  через сигналы  и коэффициенты . Таким образом  выражается сам через себя и решить уравнение (2) в аналитическом виде нельзя. Поэтому здесь целесообразно воспользоваться рекуррентной процедурой, которая строится на основе (2), полагая коэффициенты  равными , где  - значение базисного вектора на предыдущем  шаге. В результате получаем следующий алгоритм вычисления оптимального базисного вектора :

,                               (3)

которая сходится к установившемуся значению уже на 20 шаге.

Аналогичным образом вычисляются базисные векторы , при  с тем отличием, что вместо сигналов  должны использоваться сигналы

,

Моделирование алгоритма вычисления оптимальных базисных векторов и восстановления по ним сигнала выполнялось для случайных полей Хабиби размером 128х128 отсчетов по первым 15 низкочастотным коэффициениам. При этом все пространство сигнала разбивалось на непересекающиеся блоки по 8х8 пикселей, что соответствует алгоритму кодирования JPEG. В результате были вычислены двумерные базисные векторы , по которым, затем, проводилось восстановление. На рис. 1 показано исходное поле Хабиби и результаты восстановления на основе рассмотренного алгоритма и ДКП, применяемое в алгоритме сжатия изображений JPEG.

При восстановлении обоими алгоритмами были рассчитаны нормированные среднеквадратические отклонения и предложенный алгоритм показывает лучшие результаты на 5-10%. Кроме того, заметно лучшее визуальное качество изображения рис. 1 б) по сравнению с изображением рис. 1 в).

Рис. 1. Результаты восстановления:

б) по предложенному алгоритму;

в) по коэффициентам ДКП

 

 


<< Предыдущая Список Следующая >>