<< Предыдущая Список Следующая >>


6. Выполнение вейвлет-преобразования во временной области

Традиционно для выполнения вейвлет-преобразования необходимо задать набор низко- и высокочастотных фильтров для выполнения декомпозиции сигнала. Рассмотрим вейвлет Хаара с набором фильтров  для выделения низкочастотной составляющей и  для выделения высокочастотной составляющей. Один  шаг такого преобразования записывается как:

                                  (1)

Графическая интерпретация результата выражения (1) представлена на рис. 1.

Тот же самый результат можно получить, если записать:

                                    (2)

Анализ выражения (2) показывает, что величину  можно рассматривать как ошибку экстраполяции величины , а  как значение первого отсчета увеличенного на . Величина  дает возможность сохранить общую структуру изображения в его уменьшенной копии при сохранении среднего значения отсчетов изображения, что позволяет устранить эффект элайзинга при реконструкции изображения.

Если положить, что все ошибки  равны нулю, то среднеквадратическая погрешность восстановления изображения будет меньше, чем в случае рекнострукции изображения по наблюдениям , т.е. в случае сеточного метода сжатия.

Все вышесказанное можно обобщить и на случай, когда ошибка оценивания  находится как интерполяция по известным близлежащим наблюдениям.

Допустим, что производится оценивание неизвестного элемента  по четырем ближайшим наблюдениям  как показано на рис. 2.

Будем искать оценку с коэффициентами фильтра  = :

              (3)

Ошибку определим как разность

                                                (4)

где  - истинное значение оцениваемого элемента.

В результате оценивания всех неизвестных элемнтов получим множество наблюдений  и множество ошибок :

.

Тогда величины  можно заменить на  применив следующую формулу:

                                     (5)

В этом случае уменьшенная копия изображения, составленная из элементов , будет также как и в случае преобразования Хаара, сохранять глобальные свойства исходного изображения.

Прямыми выкладками можно показать, что формулы (3)-(5) определяют биортогональное вейвлет-преобразование с низкочастотным фильтром .

Описанный подход вейвлет-преобразования во временной области, известный в литературе под названием лифтинговая схема, дает возможность создавать адаптивные вейвлеты, т.е. изменять коэффициенты фильтра в зависимости от статистических свойств анализируемого сигнала, а также создавать двумерные неразделимые вейвлеты.

Единственным существенным ограничением, накладываемым на коэффициенты низкочастотного фильтра, является то, что сумма коэффициентов фильтра должна быть равна 1. Поэтому адаптация фильтра в выражении (3), при сохранении его симметричности, возможна при изменении только одного из его коэффициентов, остальные будут вычисляться автоматически. В случае более длинных фильтров возможны различные варианты. Если длина фильтра равна двум или единице (в случае экстраполяции), то адаптация невозможна.

 


<< Предыдущая Список Следующая >>