3.1. Система с отказами при простейшем потоке вызовов

Рассмотрим полнодоступную систему с отказами. Представим ее как физическую систему  с конечным числом состояний , где  - число занятых каналов связи. Данная система в каждый момент времени  может перейти из состояния  или в состояние , или в состояние , или остаться в прежнем (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Возможные переходы системы

Допустим, что на вход данной системы поступает простейший поток заявок с интенсивностью  и ПРВ

, .

Время обслуживания одной заявки показательное с параметром  и ПРВ

, .

Требуется, на основе этих данных определить вероятности состояний системы , для любого момента времени .

Так как оба потока – заявок и освобождений – простейшие, процесс, протекающий в системе, будет марковским. Очевидно, для любого момента времени  выполняется условие

.

Зафиксируем момент времени  и найдем вероятности  того, что в момент времени  все каналы связи будут свободны. Это может произойти двумя способами:

А – в момент времени  система находилась в состоянии  и за время  не перешла в состояние  (не пришло ни одного вызова);

В – в момент времени  система находилась в состоянии  и за время  освободился один канал связи.

Возможностью «перескока» системы через состояние за малый промежуток времени  можно пренебречь, как практически невозможным событием. Тогда по теореме сложения вероятностей двух несовместных событий получаем

.

Найдем вероятность события . Вероятность того, что в момент времени  система находилась в состоянии  равно , а вероятность того, что за время  не пришло ни одного вызова определяется выражением

,

откуда

.

Найдем вероятность события . Вероятность нахождения системы в состоянии  в момент времени  равно , а вероятность освобождения одного канала связи за время  определяется формулой

,

откуда

.

Таким образом, вероятность нахождения системы в момент времени  в состоянии  определяется выражением

,

или переходя к пределу при  и перенося  в левую часть, получим

.

Аналогично вычислим вероятности нахождения системы в состоянии , при  в момент времени . Эти вероятности определяются на основе трех событий:

А – в момент времени  система находилась в состоянии  и за время  не поступило ни одного вызова;

В – в момент времени  система находилась в состоянии  и за время  пришел один вызов;

С – в момент времени  система находилась в состоянии  и за время  освободился один канал связи.

Вероятность того, что за время  не придет ни одной заявки и не освободится ни один из каналов связи, равна

,

откуда

.

Найдем вероятность события . Вероятность того, что за время  придет одна заявка, равна

,

откуда

.

Определим вероятность . Вероятность того, что за время  освободится один канал связи, равна

,

откуда

.

Таким образом, искомая вероятность того, что в момент времени  система будет находиться в состоянии , , определяется выражением

,

переходя к пределу при  и перенося  в левую часть, получим

, .

Найдем теперь вероятность , того, что в момент времени  система будет находиться в состоянии . Данная вероятность определяется на основе двух событий:

А – в момент времени  система находилась в состоянии  и за время  не перешла в состояние  (не освободился ни один канал связи);

В – в момент времени  система находилась в состоянии  и за время  пришел один вызов.

Очевидно, вероятность  равна

,

а вероятность  определяется как

.

Искомая вероятность  находится по теореме сложения вероятностей:

,

при переходе к пределу при , получаем

.

В результате имеем систему из  дифференциальных уравнений для вероятностей  состояний системы в момент времени :

Данные уравнения называются уравнениями Эрланга. Интегрирование систем дифференциальных уравнений при начальных условиях  дает зависимость  для любого .

Система дифференциальных уравнений Эрланга переходит в систему линейных уравнений при установившемся режиме обслуживания, т.е. при . В этом случае все вероятности  устремляются к своим предельным значениям , а их производные к нулю. Таким образом, получаем следующую систему линейных уравнений:

К этим уравнениям необходимо добавить условие

.                                                        (3.1)

Из первого уравнения имеем

,                                                       (3.2)

из второго, с учетом (3.2)

и в общем случае для любого  вероятности

.                                     (3.3)

Так как параметр , где  - среднее время обслуживания, то величина  равна входной нагрузки, поступающей на систему связи и выражение (3.3) можно записать в виде

.                                                  (3.4)

Формула (3.4) выражает все вероятности через величину . Чтобы выразить их непосредственно через входную нагрузку , воспользуемся условием (3.1):

,

откуда получаем

и вероятности  запишутся в виде

, .                                  (3.5)

Выражение (3.5) называется формулой Эрланга. Из нее можно получить формулу для вычисления вероятности блокировки поступившей заявки:

,

где  - вероятность поступления заявки в момент занятости всех  каналов связи. Данную вероятность можно определить как отношение свободных источников заявок  к общему числу источников :

,

где  - число обслуживаемых заявок системой связи. Однако, при простейшем входном потоке , а вероятность . Следовательно, вероятность блокировки равна

.                                                    (3.6)

Данное выражение получило название первой формулы Эрланга. С помощью данного выражения можно построить кривые зависимости качества обслуживания  от величины входной нагрузки и числа каналов связи:

.

На основе построенных графиков можно определять необходимое число линий связи при заданном качестве обслуживания  и величины входной нагрузки .