7.4. Определение средней задержки при передаче сообщений в сетях связи с пакетной коммутацией

Рассмотрим простую сеть связи, в которой имеется несколько УК соединенные между собой дуплексными соединительными линиями с пропускной способностью  байт/сек. между  и  узлами (рис. 7.8). Если линия связи между узлами  и  отсутствует, то .

Каждый УК имеет буфер неограниченной емкости. Среднюю длину пакета положим равной  байт. Также для простоты будем полагать, что поток данных, возникающий в узле  и предназначенный узлу , является простейшим со средней интенсивностью  пакетов/сек. Соответственно, полная средняя интенсивность трафика в сети определяется по формуле

,

где  - общее число УК. Величины  считаются известными, т.к. их можно либо измерить, если сеть находится в режиме эксплуатации, либо оценить путем моделирования. Действительно, при эксплуатации сети для каждого узла  можно подсчитать число переданных сообщений  узлу  за время наблюдения  сек. Тогда оценка интенсивности определяется как .

Рис. 7.8. Упрощенная схема сети связи

Так как пакеты из узла  в узел  могут передаваться разными маршрутами, то средняя интенсивность использования канала не равна в точности . Однако, зная коэффициенты использования той или иной линии связи, можно определить данную характеристику по формуле

,

где  - доля потока , проходящая по линии . Величины  подобны весовым коэффициентам  в игровом методе построения ПРИ и выбора маршрутов. Основное их отличие заключается в том, что они являются характеристикой потока строго заданного маршрута между узлами  и , в то время как весовые коэффициенты характеризуют распространение потока в целом, не привязываясь к конкретному маршруту. Поэтому величины  дают более полную информацию о сети связи и могут быть определены экспериментально подобно коэффициентам .

Важной характеристикой качества функционирования сети является среднее время  доставки пакета, которая определяется как математическое ожидание от временных задержек  доставки пакетов между узлами  и :

,

где  - вероятность передачи сообщения от узла  к узлу . Данную вероятность можно выразить через интенсивность потоков , если предварительно выполнить их нормировку, т.е.

.

Тогда выражение для средней задержки пакета в сети можно записать в виде

.

Применение формулы Литтла к данному выражению приводит к общему, и в то же время чрезвычайно простому результату, впервые полученному Л. Клейнроком [9]:

,

где  - среднее время пребывания сообщений в линии.

В общем случае получить аналитические выражения для  невозможно, однако, учитывая сделанные предположения о пуассоновском потоке заявок, каждую линию связи можно рассмотреть как независимую цифровую систему типа M/M/1 и воспользоваться ранее выведенной формулой для определения среднего времени нахождения пакета в системе:

,

где  - среднее время передачи пакета по каналу ;  - среднее время пребывания пакета в буфере. Величина нагрузки в данном случае определяется как . Таким образом, получаем следующее выражение для среднего времени пребывания пакета в системе:

и приходим к окончательной формуле для вычисления средней задержки передачи пакета в цифровой системе:

.

Полученное выражение для средней задержки пакета в сети связи позволяет поставить обратную задачу: найти величины , при которых средняя задержка  минимальна. Причем на основе вычисленных величин  можно сформировать матрицы весовых коэффициентов , используемые в игровом методе при формировании маршрутов движения заявок. К сожалению, на сегодняшний день отсутствует общее решение данной задачи, но известны ее частные  решения, которые можно найти в работе [10].