11.4. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ПОДГОНОК И ПРОВЕРОК МОДЕЛЕЙ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
11.4.1. Подгонка и проверка модели газовой печи
Проиллюстрируем теперь подход, описанный в разд. 11.3, на подгонке модели
,
идентифицированной для данных газовой печи в разд. 11.2.2 и 11.2.3.
Нелинейное оценивание. Использовались начальные оценки , полученные в разд. 11.2.2 и 11.2.3. При помощи алгоритма условных наименьших квадратов, описанного в разд. 11.3.2, значения наименьших квадратов с точностью в два десятичных знака были получены за четыре итерации. Чтобы показать сходимость итерационного процесса в неблагоприятных обстоятельствах, в табл. 11.4 приведены последовательности итераций с начальными значениями, равными +0,1 или -0,1. Тот факт, что даже в этих условиях сходимость для модели с таким большим числом параметров, как 7, была достигнута за 10 итераций, весьма ободряет.
Последняя строка в табл. 11.4 — это грубые предварительные оценки, полученные на этапе идентификации в разд. 11.2.2 и 11.2.3. Видно, что в этом примере они хорошо согласуются с оценками наименьших квадратов, данными в предыдущей строке.
Таблица 11.4. Сходимость подгонки модели к данным газовой печи нелинейным методом наименьших квадратов
Интерация
|

|

|

|

|

|

|

|
Сумма
квадратов
|
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
|
0,10
-0,46
-0,52
-0,63
-0,54
-0,50
-0,53
-0,53
-0,53
-0,53
|
-0,10
0,63
0,45
0,60
0,50
0,31
0,38
0,37
0,37
0,37
|
-0,10
0,60
0,31
0,01
0,29
0,51
0,53
0,51
0,51
0,51
|
0,10
0,14
0,40
0,12
0,24
0,63
0,54
0,56
0,56
0,57
|
0,10
0,27
0,52
0,73
0,42
0,09
0,01
0,01
0,01
0,01
|
0,10
1,33
1,37
1,70
1,70
1,56
1,54
1,53
1,53
1,53
|
0,10
-0,27
-0,43
-0,76
-0,81
-0,68
-0,64
-0,63
-0,63
-0,63
|
13 601
273,1
92,5
31,8
19,7
16,84
16,60
16,60
16,60
16,60
|
Предварительные
оценки
|
-0,53
|
0,33
|
0,51
|
0,57
|
0,02
|
1,51
|
-0,68
|
|
Итак, окончательно подогнанная модель передаточной функции имеет вид
, (11.4.1)
,
а подогнанная модель шума —
, (11.4.2)
с . Пределы в скобках соответствуют ±1 стандартной ошибке и найдены в процедуре нелинейного оценивания.
Диагностическая проверка. Прежде чем принять эту модель как адекватное представление системы, следует проделать проверки автокорреляций и взаимных корреляций способами, описанными в разд. 11.34 Выборочные автокорреляции для первых 36 задержек приведены в табл. 11.5 вместе с верхней гранью их стандартных ошибок в предположении об адекватности модели. Поведение отдельных выборочных автокорреляций не дает указаний на неадекватность модели. Это подтверждается вычислением критерия (11.3.18):
.
Таблица 11.5. Выборочная автокорреляционная функция остаточных ошибок для подогнанной модели газовой печи
Задержка 
|

|
Крайние
Границы
Стандартной
ошибки
|
1-12
13-24
25-36
|
0,02
-0,04
0,04
|
0,06
0,05
-0,02
|
-0,07
-0,09
0,02
|
-0,05
-0,01
0,09
|
-0,05
-0,08
-0,12
|
0,12
0,00
0,06
|
0,03
-0,12
-0,03
|
0,03
0,00
-0,06
|
-0,08
-0,01
-0,11
|
0,05
0,08
0,02
|
0,02
0,02
0,03
|
0,10
-0,10
0,06
|
±0,08
±0,06
±0,08
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнение с таблицей для степеней свободы не дает основания оспаривать адекватность модели.
В табл. 11.6а приведены значения выборочной взаимной корреляционной функции для первых 36 задержек, а также верхняя граница их стандартных ошибок. Видно, что хотя выборочные взаимные корреляции не слишком велики по сравнению с их стандартными ошибками, они сильно коррелированы. Этого следовало ожидать, так как, согласно (11.3.19), выборочные взаимные корреляции подчиняются тому же стохастическому процессу, что и вход , а как мы уже видели, вход в этом примере сильно автокоррелирован.
Соответствующие выборочные взаимные корреляции между и предварительно выравненным входом приведены в табл. 11.66. Критерий (11.3.20) дает
.
Таблица 11.6а. Выборочная взаимная корреляционная функция остаточных ошибок входа и выхода для данных газовой печи
Задержка 
|

|
Крайние
Границы
Стандартной
ошибки
|
0-11
12-23
24-35
|
0,00
-0,03
-0,03
|
0,00
-0,03
-0,04
|
0,00
-0,03
-0,04
|
0,00
-0,07
-0,02
|
0,00
-0,10
-0,01
|
0,00
-0,12
0,02
|
-0,01
-0,12
0,04
|
-0,02
-0,10
0,05
|
-0,03
-0,04
0,06
|
-0,05
-0,01
0,07
|
-0,06
-0,01
0,07
|
-0,05
-0,02
0,06
|
±0,06
±0,06
±0,06
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 11.6б. Выборочная взаимная корреляционная функция остаточных ошибок предварительно выравнеииого входа и выхода для данных газовой печи
Задержка 
|

|
Крайние
Границы
Стандартной
ошибки
|
0-11
12-23
24-35
|
-0,06
-0,03
-0,01
|
0,03
-0,11
-0,02
|
-0,01
0,02
0,05
|
0,00
0,04
-0,07
|
0,01
0,04
0,00
|
0,01
0,01
0,04
|
0,01
0,01
0,15
|
-0,04
-0,15
0,04
|
0,02
-0,03
0,03
|
0,07
-0,07
-0,02
|
-0,03
-0,08
0,00
|
-0,02
0,02
0,03
|
±0,06
±0,06
±0,06
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнение с таблицей для степеней свободы также не дает указания на неадекватность модели.
Импульсный отклик и отклик на единичный скачок. Выборочная оценка в (11.4.1) очень мала по сравнению с ее стандартной ошибкой ±0,14, и параметр модели может быть опущен практически без влияния на точность оценок других рассматриваемых параметров. Окончательный вид комбинированной модели передаточной функции — шума для данных газовой печи есть
.
Функции отклика на единичный скачок и единичный импульс, соответствующие модели передаточной функции
,
приведены на рис. 11.6. Согласно (10.2.5), установившееся усиление кодированных данных равно
.
Результаты хорошо согласуются с полученными взаимным спектральным анализом [27].

|

|
Рис. 11.6. Отклики на единичные импульс (а) и скачок (б) для модели передаточной функции 
|
Рис. 11.7. Среднеквадратичная ошибка выхода для различных интервалов отсчета.
|
Выбор интервала отсчета. Если возможен выбор, интервал отсчета следует брать достаточно малым по сравнению с постоянными времени, ожидаемыми для этой системы. В неясных случаях следует повторить анализ для нескольких интервалов. При выборе интервала отсчета существен уровень остаточного шума на выходе, и его дисперсия должна стремиться к минимуму по мере уменьшения интервала. Так, в рассмотренном выше примере с газовой печью непрерывная запись входа и выхода обеспечивалась самописцем. Дискретные данные, использованные в нашем анализе, были получены считыванием значений в точках этой непрерывной записи с интервалом 9 с. Этот интервал был выбран после рассмотрения записей, показанных на рис. 11.1; он показался достаточным для описания всех вариаций (кроме легкого дрожания пера) входа и выхода. Такого рода разумные практические предположения обычно достаточно надежны при выборе интервала. Выборочная среднеквадратичная ошибка для данных о газовой печи (полученная делением на соответствующее число степеней свободы, где — значения подогнанной модели выхода) при различных временных интервалах приведена в табл. 11.7. Эти значения показаны также на рис. 11.7. До тех пор пока интервал меньше 40 с, среднеквадратичная ошибка изменяется незначительно, а затем она резко возрастает. Для 9-, 18-и 27-секундных интервалов различия в среднеквадратичной ошибке невелики, а при интервале 36 с происходит значительное изменение. Видно, что интервал 9 с, использованный в этом примере, даже излишне безопасен.
Таблица 11.7. Среднеквадратичная ошибка выхода для различных интервалов отсчета
Длина интервала, с
Число наблюдений, 
Среднеквадратичная ошибка
|
9
296
0,71
|
18
148
0,78
|
27
98
0,74
|
36
74
0,95
|
45
59
0,97
|
54
49
1,56
|
72
37
7,11
|
|