11.5.1. Прогноз с минимальной среднеквадратичной ошибкой
Теперь (11.5.1) можно записать как
, (11.5.3)
где
и
статистически независимы. Рассуждая, как в разд. 5.1.1, представим прогноз
значения ряда
сделанный в момент
, как
.
Тогда

и

последнее достигает минимума, только если
и
. Таким образом, прогноз
величины
в момент
с минимальной среднеквадратичной ошибкой определяется как условное математическое ожидание
в момент
. Теоретически это математическое ожидание берется при условии, что известны значения ряда, начиная с бесконечно удаленного прошлого вплоть до настоящего момента
. Как и в гл. 5, эти результаты практически полезны, поскольку обычно прогноз существенно зависит только от недавних прошлых значений
и
.
Вычисление прогнозов. Можно представить (11.5.1) в виде
,
или в иных обозначениях
.
Обозначая условные математические ожидания в момент
квадратными скобками и приняв
получаем выражения для прогноза с упреждением 
(11.5.4)
где
(11.5.5)
и
вычисляется по (11.5.1) или для
как
.
Тогда после соответствующих подстановок прогноз с минимальной квадратичной ошибкой легко вычислить непосредственно, пользуясь формулами (11.5.4) и (11.5.5). Прогнозы
легко найти обычным способом (см. разд. 5.2), используя модель (11.5.2).
Дисперсия прогноза. Веса
и
в (11.5.3) можно получить в явном виде, приравнивая коэффициенты в

и в
.
Дисперсия прогноза с упреждением
равна
. (11.5.6)
Прогнозы как линейная комбинация предшествующих наблюдений. В каждом примере полезно изучить, каким способом прогнозы будущих значений
используют предшествующие значения
и
.
В разд. 5.3.3 было показано, как можно представить прогнозы в виде линейных комбинаций предшествующих значений ряда. Прогнозирование упреждающего индикатора мы можем выполнить по формуле
. (11.5.7)
Веса
появляются, если модель (11.5.2) представлена в виде
;
их явные выражения можно получить, приравнивая коэффициенты в уравнении
.
Используя также (5.3.9), получаем
, (11.5.8)
Действуя тем же способом, мы можем представить модель передаточной функции (11.5.1) в виде
,
. (11.5.9)
Следует отметить, что если передаточная функция, связывающая упреждающий индикатор
и выход
, такова, что
при
, то
в (11.5.9) будут равны нулю. Формулу (11.5.9) можно теперь записать иначе:
.
Сравнение с (11.5.1) показывает, что веса
и
можно получить, приравнивая коэффициенты в выражениях
,
.
Заменяя
на
в (11.5.9) и переходя к условным математическим ожиданиям в момент
, получаем выражение для прогноза с упреждением
вида
. (11.5.10)

Рис. 11.9. Прогноз выхода
из газовой печи по входному и выходному рядам.
Прогноз на шаг вперед имеет вид
.
Величины в квадратных скобках в (11.5.10) —это или известные значения рядов
к
, или прогнозы, являющиеся линейными функциями этих известных величин.
Итак, прогнозы можно записать в виде линейных комбинаций значений членов ряда, известных к моменту времени
, в виде
, (11.5.11)
где коэффициенты
,
можно вычислить по рекуррентным формулам
(11.5.12)