ПРИЛОЖЕНИЕ П11.1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЗАИМНОГО СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ МОДЕЛИ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

В этом приложении мы покажем, что, пользуясь спектральным анализом, можно предложить еще один метод идентификации моделей передаточных функций, не требующий предварительного выравнивания спектра входа. Этот метод легко обобщается на случай нескольких входов.

П11.1.1. Идентификация моделей передаточной функции с одним входом

Пусть передаточная функция  определена так, что веса  функции отклика на единичный импульс могут быть не равны нулю для отрицательных , так что

.

Тогда, если модель передаточной функции, согласно (11.2.3), имеет вид

,

уравнение (11.2.5) принимает вид

,   ,          (П11.1.1)

Определим теперь производящую функцию взаимных ковариаций

,                              (П11.1.2)

аналогичную производящей функции автоковариаций (3.1.10). Умножая все члены (П11.1.1) на  и суммируя, получаем

.                                              (П11.1.3)

Если мы теперь подставим в (П11.1.2) , то получим взаимный спектр  между входом и выходом. Та же замена в (П11.1.З) дает

, ,               (П11.1.4)

где

,          (П11.1.5)

называется частотной характеристикой системы и является преобразованием Фурье от функции отклика на единичный импульс. Поскольку  комплексно, мы можем представить его как произведение функции усиления  и фазовой функции . Формула (П11.1.4) показывает, что частотная характеристика — это отношение взаимного спектра к входному спектру. Методы оценивания частотной характеристики  описаны в [27]. Если  известно, функцию отклика на единичный импульс  можно получить как

.                        (П11.1.6)

Поступим аналогичным образом с шумом. Производящая функция автоковариаций шума  равна

.   (П11.1.7)

Подставляя в (П11.1.7) , получаем для спектра шума выражение

,                     (П11.1.8)

где

.

и — спектр когерентности для каждой частоты  ведет себя как коэффициент корреляции. Если спектр шума известен, автокорреляционная функция шума находится по формуле

.

При помощи оценок спектра типа описанных в [27] можно получить оценки весовой функции  и автокорреляционной функции шума. Они могут быть использованы для идентификации модели передаточной функции и модели шума, как это описано в разд. 11.2.1 и 6.2.1.

П11.1.2. Идентификация моделей передаточных функций с несколькими входами

Обобщим теперь модель

на случай нескольких входов . Тогда

где  — производящая функция импульсного отклика, связывающего  с выходом. Будем, как и ранее, предполагать, что после взятия разностей (П11.1.9) можно записать в виде

.

Последовательно умножая все члены этого уравнения на , переходя к условным математическим ожиданиям и формируя производящие функции, получим

(П11.1.11)

Подставив  переходим к спектральным уравнениям. Так, в случае

,

и частотные характеристики  могут быть вычислены, как описано в [27].

Пользуясь обратным преобразованием (П11.1.6), по ним можно найти функцию отклика на единичный импульс.