13.3.2. Влияние интервала отсчета на процесс ПСС(0,1,1)
Пусть наблюдения процесса делаются через «единичный» интервал и исследуется модель шума

с дисперсией
, где индекс 1 применяется для обозначения используемого интервала отсчета. Тогда автоковариации
разностей
будут равны
(13.3.2)
Обозначив
, получим
,
т. е. при данных
и
параметр
процесса
может быть получен решением квадратного уравнения
.
Используется корень уравнения, лежащий в интервале
. Отметим, что
. (13.3.3)
Пусть теперь процесс
наблюдается с шагом в
единиц (где
положительное целое), и результирующий процесс обозначим
. Тогда

и т. д. Автоковариации
разностей
имеют вид
(13.3.4)
Отсюда следует, что
– также процесс
:
,
где
– белый шум с дисперсией
. Имеем
,
так что
. (13.3.5)
Далее, так как
, имеем
. (13.3.6)
Следовательно, показано, что при отсчете процесса
с шагом
получается другой процесс
.
Из (13.3.5) можно получить значение параметра
для этого процесса, а из (13.3.6) – дисперсию
этого процесса, выраженные через параметры
и
исходного процесса.
На рис. 13.6 дан график
как функции
и приведена шкала
. График позволяет найти эффект увеличения интервала отсчета данного процесса в любое целое число раз. Пусть, например, мы имеем процесс с параметрами
и
. Используем график, чтобы найти значения соответствующих параметров
,
,
,
, в случаях, когда интервал отсчета а) удвоен, б) учетверен. Отмечая на краю вспомогательного листка бумаги точки
,
,
со шкалы графика, положим лист так, чтобы этот край был параллелен оси
и точка
совпадала с точкой кривой для
. Ординаты кривой, соответствующие
и
, будут равны
и
. Находим


Рис. 13.6. Изменение интервала отсчета процесса
. Параметр
для функции
.
Из (13.3.6) следует, что дисперсии обычно пропорциональны
,
т.е.

Положим, что для первоначальной схемы с единичным интервалом динамическая константа равна
(индекс 1 опять обозначает интервал отсчета). Тогда, поскольку в реальном времени та же фиксированная постоянная времени
описывает все схемы, имеем
.
Схема, дающая минимальную среднеквадратичную ошибку для конкретного интервала отсчета
, будет
,
или
. (13.3.7)
Пусть, например,
, как и ранее, и
; тогда
;
. Получаем оптимальные схемы

Как и следовало ожидать, при увеличении интервала отсчета и уменьшении роли динамики системы вклад интегрального регулирования увеличивается и отношение пропорционального регулирования к интегральному заметно уменьшается. Ранее отмечалось, что в некоторых случаях излишне большая дисперсия корректировок
может быть неприемлемой. Индикатором этого свойства схем являются значения
. Меньшее значение
само по себе не оправдывает, конечно, выбор
. Применение схемы регулирования с ограничением (подобно описанной в разд. 13.2) с
дало бы резкое уменьшение
с незначительным увеличением дисперсии выхода. Например, из табл. 13.3 для
мы находим, что при 5%-ном увеличении дисперсии выхода до значения
дисперсию входа схемы с
можно уменьшить до 22% от ее значения без ограничений, так что
. Из (13.2.28) получаем, что при
схема с ограничением имеет вид

На практике можно указать ряд альтернативных схем с их характеристиками и выбрать конкретную схему для данной проблемы с позиции экономичности.
В общем увеличение дисперсии выхода, вызываемое увеличением интервала отсчета, может быть скомпенсировано экономическим выигрышем, например менее частыми наблюдениями.