3. Метод разложения в ряд Фурье
Для стационарных случайных процессов наиболее простым частным случаем общего ортогонального разложения (1.27) на конечном интервале
является разложение, в котором собственными функциями являются синусы и косинусы (разложение случайных процессов в ряд Фурье). Каноническое разложение случайного процесса имеет при этом вид
, (1.29)
где
— случайные амплитуды гармоник;
— частоты гармоник, кратные основной частоте
.
При
реализации случайного процесса (1.29) являются периодическими функциями с периодом
. Предполагается, что период
, в общем случае не совпадает с интервалом разложения
и его нужно выбрать. Сделать выбор величины
, и найти алгоритм канонического разложения (1.29) позволяют следующие соображения.
Поскольку коэффициенты
некоррелированы, то корреляционная функция случайного процесса (1.29) согласно общей формуле (1.22) имеет вид
,
где
— дисперсии коэффициентов
, и
.
При равенстве дисперсий в парах коэффициентов
и
с одинаковым индексом случайный процесс (1.29) является стационарным в широком смысле, так как его корреляционная функция зависит лишь от разности аргументов
и
:
,
где
. При этом корреляционная функция
является периодической с периодом
, равным периоду процесса
, а дисперсии
равны коэффициентам разложения корреляционной функции
в ряд Фурье по косинусам.
Изменениям аргумента корреляционной функции
в пределах периода, т. е. от
до
, соответствует изменение времени
и
в пределах полупериода, т. е. в пределах интервала длиной
.
Все это подсказывает следующий путь канонического разложения стационарного случайного процесса в ряд вида (1.29) на интервале
.
Зная величину интервала разложения
, находим коэффициенты разложения корреляционной функции
заданного процесса в ряд Фурье по косинусам на удвоенном интервале
по формулам:
(1.30)
Полученные коэффициенты
принимаем в качестве дисперсий
коэффициентов
и
в искомом разложении.
Если величина интервала
выбрана такой, что при
значения корреляционной функции равны нулю или пренебрежимо малы, то верхний предел в интегралах (1.30) можно положить равным бесконечности. Тогда

где
— энергетический спектр моделируемого случайного процесса. Следовательно, в этих случаях дисперсии
с точностью до множителя совпадают со значениями функции спектральной плотности
моделируемого случайного процесса в
. Это при известной функции спектральной плотности делает процесс вычисления дисперсий
весьма простым.
Заметим, что при разложении нормального случайного процесса в ряд (1.29) коэффициенты
и
будут нормальными случайными величинами.
Рассматриваемый метод моделирования стационарных случайных процессов достаточно прост по своей подготовительной работе. После получения дисперсий
дискретные реализации случайного процесса при постоянном шаге дискретизации
формируются согласно алгоритму
, (1.31)
где
и
— некоррелированные случайные числа с параметрами
.
Разложение (1.29) можно, конечно, использовать и для получения дискретных реализаций процессов в неравноотстоящих точках.
Число слагаемых в формуле (1.31) практически целесообразно выбирать из условия
,
где
— достаточно малая величина. Это неравенство выражает тот факт, что сумма дисперсий
должна быть равна дисперсии моделируемого процесса.
При моделировании нормальных случайных процессов распределение коэффициентов
и
должно быть нормальным. В этих случаях иногда удобно представить алгоритм (1.31) в виде
, (1.32)
где
— случайные коэффициенты с релеевским распределением (1.4), у которого параметр
равен
,
— случайные фазы гармоник, независимые от
и распределенные равномерно в интервале
.
Интересно заметить, что если в разложении (1.32) коэффициенты
выбрать неслучайными, т. е. положить
(1.33)
и выбрать значения
из условия
, оставив фазы случайными равномерно распределенными в интервале
, то корреляционные функции процессов
и
будут одинаковыми. Этот факт положен в основу метода моделирования, описанного в [105].
Алгоритм (1.33) требует меньшего объема вычислений, чем алгоритмы (1.31) и (1.32), так как содержит в два раза меньше случайных коэффициентов, реализации которых необходимо формировать на ЦВМ при моделировании. Однако алгоритм (1.33) не позволяет, строго говоря, формировать реализации случайных процессов с нормальным распределением, хотя при большом числе слагаемых с приблизительно равными коэффициентами в силу центральной предельной теоремы закон распределения формируемого процесса будет близок к нормальному.
Недостатком рассмотренного способа моделирования является необходимость учета большого числа слагаемых в формулах (1.31) — (1.33), когда интервал разложения
во много раз превышает время корреляции
моделируемого процесса. Последнее объясняется тем, что при
ряд (1.29) сходится, вообще говоря, медленно и, следовательно, для получения приемлемой точности в сумме (1.29) приходится учитывать большое число слагаемых.
Алгоритмы (1.31) — (1.33) включают в себя операции вычисления тригонометрических функций, для выполнения которых на ЦВМ используются стандартные программы, насчитывающие десятки элементарных операций. Это также увеличивает объем вычислений и снижает эффективность алгоритмов (1.31)—(1.33).
Если память машины достаточна, то для сокращения объема вычислений при многократном формировании реализаций случайных векторов значения тригонометрических функций в дискретных точках, однажды вычисленные, можно запомнить и использовать в готовом виде для дальнейших вычислений (см. § 1.2).
Пои постоянном шаге дискретизации объем вычислений можно значительно уменьшить, если исключить многократные вычисления тригонометрических функций от аргументов вида
, используя рекуррентный алгоритм (1.3). При этом достаточно вычислить лишь значения тригонометрических функций при
, т.е.
и
для всех
. Коэффициенты
и
, в свою очередь, можно также вычислять рекуррентно для
, зная
и
.
Использование рекуррентных формул (1.3) вместо прямого вычисления тригонометрических функций на каждом шаге сокращает количество элементарных операций для формирования реализации случайного процесса по алгоритмам (1.31) — (1.33) на порядок и более в зависимости от того, сколько элементарных операций насчитывают программы вычисления тригонометрических функций.