Глава вторая. Моделирование типовых случайных процессов2.1. Постановка задачиРассмотренные в первой главе методы моделирования случайных векторов в рамках многомерных распределений и рамках корреляционной теории, вообще говоря, пригодны для моделирования случайных процессов, заданных на конечном интервале времени. Однако при формировании реализаций большой длины эти методы, как было отмечено, требуют большого количества вычислений и трудоемкой подготовительной работы, что затрудняет их практическое использование. К сожалению, более простых методов получения неограниченных во времени дискретных реализаций случайных процессов с заданным многомерным законом распределения или же с заданной корреляционной функцией В настоящей главе рассматриваются вопросы моделирования названных классов случайных процессов. Кроме этого, рассматриваются принципы моделирования случайных полей, т. е. случайных функций нескольких переменных. Основное внимание уделено методам моделирования стационарных нормальных случайных процессов, так как эти процессы, с одной стороны, имеют наибольшее распространение в качестве математических моделей различного рода флюктуации в радиотехнике, а с другой стороны, имея эффективные алгоритмы для моделирования стационарных нормальных случайных процессов, можно сравнительно просто получить алгоритмы для моделирования других классов случайных процессов, именно тех случайных процессов, которые можно рассматривать как порождаемые стационарными нормальными процессами при различных линейных и нелинейных преобразованиях. Для стационарных нормальных случайных процессов в последнее время найдены весьма экономичные моделирующие алгоритмы. В основу этих алгоритмов положено линейное преобразование стационарной последовательности
либо как рекуррентное уравнение вида
Вид корреляционной функции случайного процесса, моделируемого с помощью алгоритмов (2.1) и (2.2), определяется набором значений параметров Начальные условия в рекуррентном уравнении (2.2), т. е. предыдущие значения последовательности Параметры Уравнения (2.1) и (2.2) описывают поведение некоторого дискретного (импульсного) линейного фильтра [86], который из дискретного белого шума, подаваемого на его вход, формирует на выходе дискретный случайный процесс с заданными корреляционно-спектральными характеристиками. Передаточные функции этих фильтров в смысле дискретного преобразования Лапласа имеют соответственно вид
Функция
где
Аргумент
Дискретное преобразование Лапласа обладает свойствами, во многом аналогичными свойствам обычного преобразования Лапласа [85]. Кроме отмеченных выше, в дальнейшем нам потребуется еще знать свойство линейности (изображение суммы дискретных функций равно сумме изображений слагаемых и умножение функции на постоянный множитель соответствует умножению ее изображения на этот же множитель), а также то, что дискретная передаточная функция системы последовательно (параллельно) соединенных дискретных линейных фильтров равна произведению (сумме) дискретных передаточных функций отдельных фильтров. Рис. 2.1 Используя эти свойства Рис. 2.2. Как следует из рис. 2.2, рекуррентное уравнение (2.2) описывает процессы в замкнутой линейной дискретной системе, в отличие от формулы скользящего суммирования (2.1), описывающей поведение разомкнутой дискретной линейной системы. Процесс перехода от передаточных функций вида (2.3) и (2.4) к уравнениям (2.1) и (2.2) соответственно, описывающим процесс дискретной фильтрации во времени, очевиден; он называется идентификацией дискретных передаточных функций [35]. Задачу цифрового моделирования случайных процессов с помощью скользящего суммирования и рекуррентных разностных уравнений можно рассматривать как задачу синтеза линейного дискретного формирующего фильтра, который преобразует дискретный белый шум в коррелированный дискретный случайный процесс с заданными корреляционно-спектральными характеристика ми. В случае моделирования многомерных процессов ставится задача синтеза соответствующих многомерных формирующих фильтров. Ниже рассматриваются различные методы решения этих задач применительно к моделированию стационарных (в том числе и многомерных) и нестационарных нормальных случайных процессов. Для моделирования ненормальных случайных процессов предлагаются нелинейные дискретные формирующие фильтры. В основном рассматриваются дискретные случайные процессы, порождаемые непрерывными. При синтезе дискретных формирующих фильтров широко используются свойства исходных непрерывных процессов и систем.
|