2. Получение параметров рекуррентных алгоритмов методом дискретизации непрерывных формирующих фильтровПредположим, что известна импульсная переходная характеристика Покажем, что при соответствующей дискретной аппроксимации процесса фильтрации белого шума непрерывным формирующим фильтром можно получить рекуррентные алгоритмы, не обладающие методической погрешностью, для моделирования случайных процессов с рациональным спектром в отличие от приближенных алгоритмов скользящего суммирования, которые получались ранее при дискретизации формирующих фильтров. Поясним это на следующем примере. Пусть непрерывный случайный процесс
Значение процесса
Если разбить интервал интегрирования в формуле (2.71) на два смежных:
Случайные величины Рис. 2.4 Используя свойство дельта-коррелированности шума
Из (2.72) и (2.73) получаем следующий рекуррентный алгоритм для формирования значений случайного процесса
где При Возможность вычисления интеграла свертки (2.71) в более экономичном рекуррентном виде (2.72) основана на том свойстве экспоненциальной весовой функции, что сдвиг экспоненты
Это объясняет природу рекуррентности. Действительно, при вычислении Рассмотренный прием получения рекуррентных алгоритмов допускает обобщения. Так, например, если у непрерывной системы передаточная функция имеет простые вещественные корни, то ее импульсная переходная характеристика
где Сумме экспонент импульсной переходной характеристики
Формула (2.77) является простым обобщением формулы (2.72). Для формирования векторов с коррелированными составляющими можно использовать методы, описанные в первой главе. Так, например, в трехмерном случае, используя для формирования случайных векторов метод линейного преобразования вектора где
Рассмотрим теперь случай, когда корни передаточной функций непрерывного формирующего фильтра простые, но не обязательно вещественные. Тогда импульсная переходная характеристика фильтра также будет являться суммой экспонент вида (2.76), но эти экспоненты либо частично, либо полностью будут комплексными. При вещественной импульсной переходной характеристике
где В этом случае по аналогии с рассмотренными выше примерами нетрудно прийти к следующему рекуррентному алгоритму формирования дискретных значений шума на выходе непрерывного формирующего фильтра:
где
Элементы корреляционной матрицы вектора
где
Алгоритм (2.77) отличается от алгоритма (2.79) тем, что некоторые рекуррентные последовательности Пример 3. Рассмотрим процесс дискретизации непрерывного формирующего фильтра, у которого передаточная функция имеет два комплексно-сопряженных корня:
где
Импульсная переходная характеристика фильтра имеет вид где
Алгоритм для формирования значений случайного процесса
где
Интегралы в матрице
где Аналогичные соотношения получаются при дискретизации формирующих фильтров более высокого порядка. Из рассмотренного примера следует, что подготовительная работа при данном методе моделирования сравнительно простая. Достоинствами получаемых алгоритмов, кроме их простоты, являются отсутствие методической погрешности при любом шаге дискретизации и возможность выразить параметры алгоритмов в конечном аналитическом виде через параметры передаточной функции формирующего фильтра любого порядка, лишь бы полюсы передаточной функции были простыми и точно известными. При наличии кратных полюсов у передаточной функции формирующего фильтра также можно найти рекуррентные моделирующие алгоритмы для формирования стационарных нормальных случайных процессов, несколько изменив используемый выше метод дискретизации! Однако при этом получаются более громоздкие выражения и не столь эффективные алгоритмы. Этот случай мы рассматривать не будем. Довольно просто можно получить рекуррентные алгоритмы моделирования стационарных нормальных случайных процессов с рациональным спектром, если использовать приближенные методы дискретизации формирующих фильтров. Эти методы дискретизации рассмотрены в третьей главе. Они разработаны для линейных систем любого порядка и для случаев, когда полюсы передаточной функции известны, но не обязательно простые, и когда полюсы неизвестны.
|