2.13. Моделирование случайных полейСлучайными полями называются случайные функции многих переменных [71]. В дальнейшем будут рассматриваться четыре переменные: координаты В общем случае скалярное поле а векторное поле Если статистические характеристики поля не изменяются при изменении начала отсчета времени, т. е. они зависят, только от разности Примерами случайных полей являются электромагнитное поле при распространении электромагнитной волны в статистически неоднородной среде, в частности электромагнитное поле сигнала, отраженного от флюктуирующей цели (это, вообще говоря, векторное случайное поле); объемные диаграммы направленности антенн и диаграммы вторичного излучения целей, на формирование которых оказывают влияние случайные параметры; статистически неровные поверхности, в частности земная поверхность и поверхность моря при волнениях, и ряд других примеров. В данном параграфе рассматриваются некоторые вопросы моделирования случайных полей на ЦВМ. Как и ранее, под задачей моделирования понимается разработка алгоритмов для формирования на ЦВМ дискретных реализаций поля, т. е. совокупностей выборочных значений поля
где При этом полагается, что исходными при моделировании случайного поля являются независимые случайные числа. Совокупность таких чисел будет рассматриваться как случайное Задача цифрового моделирования случайных полей является новой в общей проблеме разработки системы эффективных алгоритмов для имитации различного рода случайных функций, ориентированной на решение статистических задач радиотехники, радиофизики, акустики и т. д. методом моделирования на ЦВМ. В самом общем виде, если известен Упрощения алгоритма и сокращения объема вычислений можно достичь, если, подобно тому, как это было сделано по отношению к случайным процессам, разрабатывать алгоритмы для моделирования специальных классов случайных полей. Рассмотрим возможные алгоритмы моделирования стационарных однородных скалярных нормальных случайных полей. Случайные поля этого класса так же, как и стационарные нормальные случайные процессы, играют очень важную роль в приложениях [71]. Такие поля полностью задаются своими пространственно-временными корреляционными функциями
(Здесь и в дальнейшем предполагается, что среднее значение поля равно нулю.) Столь же полной характеристикой рассматриваемого класса случайных полей является функция спектральной плотности поля
где
Функция спектральной плотности Случайное поле с интенсивностью Пространственно-временные фильтры (ПВФ) являются обобщением обычных (временных) фильтров. Линейные ПВФ, как и обычные фильтры, описываются с помощью импульсной переходной характеристики [87] и передаточной функции
Процесс линейной пространственно-временной фильтрации поля
где
где Доказательство соотношений (2.141), (2.142) полностью совпадает с доказательствам аналогичных соотношений для стационарных случайных процессов. Аналогия гармонического разложения и фильтрации случайных полей с гармоническим разложением и фильтрацией случайных процессов позволяет предложить для их моделирования аналогичные алгоритмы. Пусть требуется построить алгоритмы для моделирования на ЦВМ стационарного однородного по пространству скалярного нормального поля Если поле
Здесь
где Если область разложения поля во много раз больше его пространственно-временного интервала корреляции, то дисперсии легко выражаются через спектральную функцию поля (см. § 1.6, п.3)
Формирование дискретных реализаций Рассмотренный алгоритм хотя и не позволяет формировать реализации случайного поля, неограниченные по пространству и по времени, однако подготовительная работа для его получения довольно простая, в особенности при использовании формул (2.145), и этот алгоритм позволяет формировать дискретные значения поля в произвольных точках пространства и времени выбранной области. При формировании дискретных реализаций поля с постоянным шагом по одной или нескольким координатам для сокращенного вычисления тригонометрических функций целесообразно использовать рекуррентный алгоритм вида (1.3). Неограниченные дискретные реализации однородного стационарного случайного поля можно формировать с помощью алгоритмов пространственно-временного скользящего суммирования
где Суммирование в формуле (2.146) осуществляется по всем значениям Подготовительная работа при данном методе моделирования заключается в нахождении соответствующей весовой функции Подготовительная работа и процесс суммирования в алгоритме (2.146) упрощаются, если функцию
В этом случае, как это следует из (2.144), корреляционная функция поля является произведением вида
где Если разложение корреляционной функции на множители вида (2.148) в строгом смысле невыполнимо, его можно сделать с некоторой степенью приближения, в частности, положив
При разложении на произведение (2.149) пространственных, корреляционных функций изотропных случайных полей, у которых
то согласно (2.149)
Случайное поле с корреляционной функцией (2.151) неизотропно. Действительно, если у поля с корреляционной функцией (2.150) поверхность постоянной корреляции (геометрическое место точек пространства, в которых значения поля имеют одинаковую корреляцию со значением поля в некоторой произвольной фиксированной точке пространства) является сферой, то в случае (2.151) поверхность постоянной корреляции есть поверхность куба, вписанного в указанную сферу. (Максимальное расстояние между этими поверхностями может служить мерой погрешности аппроксимации). Примером, в котором разложение (2.149) является точным, может служить корреляционная функция вида
Разложение (2.149) позволяет свести довольно сложный процесс четырехкратного суммирования в алгоритме (2.146) к повторному применению однократного скользящего суммирования. Таковы основные принципы моделирования нормальных однородных стационарных случайных полей. Моделирование ненормальных однородных стационарных полей с заданным одномерным законом распределения можно осуществить путем соответствующего нелинейного преобразования нормальных однородных стационарных полей, используя методы, рассмотренные в § 2.7. Пример 1. Пусть импульсная переходная характеристика пространственного фильтра для формирования плоского скалярного постоянного во времени поля имеет вид
Тогда где
Из полученных формул видно, что для получения дискретных реализаций плоского поля можно сначала с помощью скользящего суммирования с весовой функцией В рассматриваемом примере процесс скользящего суммирования легко сводится к вычислению в соответствии с рекуррентными формулами (§ 2.3) Этот пример допускает обобщения. Во-первых, аналогичным образом, очевидно, можно формировать реализации более сложных полей, чем плоское, постоянное во времени поле. Во-вторых, пример подсказывает возможность применения рекуррентных алгоритмов для моделирования случайных полей. Действительно, если импульсную переходную характеристику ПВФ, формирующего из Рис. 2.11 В заключение следует заметить, что в этом параграфе были рассмотрены только основные принципы цифрового моделирования случайных полей и даны некоторые возможные моделирующие алгоритмы. Целый ряд вопросов остался незатронутым, например: моделирование векторных (в частности, комплексных), нестационарных, неоднородных, ненормальных случайных полей; вопросы нахождения весовой функции пространственно-временного формирующего фильтра по заданным корреляционно-спектральным характеристикам поля (в частности, возможность применения метода факторизации для многомерных спектральных функций); примеры применения цифровых моделей случайных полей при решении конкретных задач и т. д. Изложение этих вопросов выходит за рамки данной книги. Многие из них являются предметом будущих исследований.
|