3.7. Оценка погрешности дискретной аппроксимации непрерывных системПри приближенной замене непрерывных систем, дискретными системами возникает погрешность, в результате которой истинные значения В настоящее время, к сожалению, не представляется возможным указать достаточно простой общий способ выбора значения шага дискретизации, обеспечивающего заданную точность при различных методах дискретизации. Можно лишь сказать, что ошибка вычисления дискретных значений сигнала на выходе непрерывной системы будет мала, если шаг дискретизации приближенно удовлетворяет условиям теоремы Котельникова. Для использования этой теоремы нужно знать ширину спектра сигнала и ширину полосы пропускания системы. Однако эта теорема не дает ответа на вопрос, какова будет величина ошибки при заданном шаге дискретизации в реальных условиях, когда функции не имеют строго ограниченного спектра. Поэтому задача оценки погрешности дискретизации является предметом самостоятельных исследований. В общем случае погрешность дискретной аппроксимации непрерывных систем зависит от шага дискретизации, метода дискретизации, вида входного сигнала, характеристик системы и, наконец, от выбранной числовой меры погрешности. Такое разнообразие факторов, влияющих на погрешность, существенно затрудняет ее количественную оценку. Поэтому обычно задачу оценки погрешности дискретной аппроксимации сужают. В первую очередь это относится к ограничению класса входных сигналов: оценку погрешности проводят при некоторых типовых (стандартных) воздействиях. Часто погрешность дискретной аппроксимации непрерывных систем оценивают при воздействии в виде единичного скачка (оценка погрешности путем сравнения переходных процессов в непрерывной и дискретной системах [85, 109]). Суть такого метода состоит в следующем. При выбранном шаге дискретизации вычисляется переходная характеристика дискретной системы и сравнивается с аналогичной переходной характеристикой непрерывной системы. В качестве меры погрешности может быть выбрано, например, среднеквадратическое отклонение кривых. Если при выбранном шаге дискретизации различие переходных процессов велико, то, уменьшая шаг, можно добиться приемлемой точности дискретной аппроксимации. Переходная характеристика дискретной линейной системы строится путем расчета по рекуррентным формулам вида (3.24) при Если построение переходного процесса в непрерывной системе затруднительно, то шаг дискретизации практически можно выбрать следующим образом. Строится последовательность переходных характеристик дискретной системы для ряда уменьшающихся (например, в два раза) значений шага дискретизации В качестве стандартного сигнала используется также гармоническое колебание (оценка погрешности путем сравнения частотных характеристик непрерывной и дискретной систем [85]). Нетрудно найти общую формулу для такого сравнения. Действительно, частотная характеристика непрерывной системы с передаточной функцией Функции О погрешности дискретной аппроксимации можно судить по отношению частотных характеристик
которое при выбранном шаге дискретизации равно отношению комплексной амплитуды гармоники на выходе дискретной системы к комплексной амплитуде гармоники на выходе исходной непрерывной системы при одном и том же гармоническом воздействии с частотой будут малы соответственно амплитудные и фазовые погрешности дискретной аппроксимации. Зная передаточную функцию В некоторых работах [20, 26] оценивается ошибка дискретной аппроксимации непрерывных систем при стационарном случайном воздействии на входе. Поскольку случайный процесс представляет собой целый ансамбль сигналов, оценка погрешности при случайном воздействии дает некоторую усредненную величину погрешности по ансамблю сигналов, а не по одному какому-нибудь элементарному сигналу. Это является важным доводом в пользу такого рода оценок. Ниже рассматриваются вопросы оценки среднеквадратической погрешности дискретной аппроксимации непрерывных систем, когда в качестве стандартного входного сигнала используется стационарный случайный процесс. Случайный сигнал является более сложным по структуре, чем элементарные стандартные сигналы в виде единичной ступеньки или гармонического колебания, но, несмотря на это, он позволяет найти довольно простые оценки погрешности, а при некоторых условиях даже более простые, чем при классических стандартных сигналах. Пусть задана некоторая линейная непрерывная система с постоянными параметрами с передаточной функцией Рассмотрим методы дискретизации заданной системы, которые соответствуют замене ее эквивалентной импульсной системой по схеме, представленной на рис. 3.1 (§ 3.2). К таким методам относятся метод Рис.3.10 Различие между выходными сигналами непрерывной и эквивалентной импульсной системы образуется в результате неточного восстановления входного сигнала интерполирующим фильтром в схеме рис. 3.1. Ошибку выходного сигнала Действительно, если
где Учитывая, что дисперсия выходного сигнала в рассматриваемом случае равна
и используя формулу (1.42) для вычисления энергетического спектра ошибки интерполяции входного сигнала, получим следующее общее выражение для нахождения относительной среднеквадратической погрешности выходного сигнала, возникающей в результате замены непрерывной линейной системы эквивалентной импульсной системой
где Величину Действительно, если частота дискретизации входного сигнала в несколько раз превышает полосу пропускания системы, а спектр сигнала в области высоких частот убывает достаточно медленно, то в пределах полосы пропускания энергетический спектр ошибки интерполяции входного сигнала можно принять постоянным и равным Тогда
Величина Поскольку у наиболее распространенных типов интерполирующих фильтров коэффициенты передачи на нулевой частоте
Из соотношений (1.129) — (1.131) следует, что погрешность дискретной аппроксимации слабо зависит от типа интерполирующего фильтра. На это указывалось в [18]. Однако этот эффект не имеет абсолютного характера: он наблюдается только при выполнении указанных выше условий. В частности, им нельзя пользоваться в случаях, когда спектр входного сигнала в области частот выше частоты дискретизации резко убывает или же равен нулю. Дополнительное упрощение оценки величины
Таким образом, при достаточно широких условиях относительная погрешность выходного сигнала Рассмотрим теперь несколько иное использование приведенной здесь методики нахождения погрешности дискретной аппроксимации непрерывных систем. Пусть в качестве моделируемой системы задана некоторая линейная непрерывная следящая система с передаточной функцией Погрешность дискретной аппроксимации в этом случае можно оценить, сопоставляя дисперсии Дисперсию ошибки
Для вычисления дисперсии ошибки Рис. 3.11. Отношение искомых дисперсий будет равно
Величина Пример 1. Рассмотрим применение полученных выше соотношений для оценки погрешности цифрового интегрирования стационарного экспоненциально-коррелированного случайного процесса Величину интеграла
можно рассматривать как величину сигнала
Вычисление интеграла (3.134) по различным формулам численного интегрирования с равным шагом дискретизации соответствует, как легко видеть, замене данной непрерывной системы эквивалентной импульсной системой по схеме рис. 1.4 с различными типами интерполирующих фильтров. В частности, при использовании формулы прямоугольников и формулы трапеций передаточные функции интерполирующих фильтров будут иметь вид, показанный в табл. 1.1 ('№ 1, 2, 3). В результате дискретизации вычисленное значение Приведенных характеристик достаточно, чтобы, подставив их в выражения (3.129)—(3.132), найти соответствующие оценки погрешности цифрового интегрирования случайного процесса. Рассмотрим, в частности, случай, когда интервал интегрирования
Отсюда, используя выражения (1.47) и (3.135), легко получим
Дисперсия самого интеграла (1.134) равна
В рассматриваемом случае
Используя (3.136) и (З.137), относительную среднеквадратическую погрешность цифрового интегрирования можно выразить в виде
где При малых
Рассмотрим численный пример. Пусть Согласно (3.138) и (3.139) получаем соответственно Заметим, что данный численный пример рассматривался в работе [13], где иным методом получена формула оценки погрешности цифрового интегрирования случайных процессов. Сравнение численных результатов показывает полное их совпадение. В заключение этого параграфа необходимо сделать некоторые замечания. Полученные формулы позволяют оценить среднеквадратическую погрешность выходного сигнала при наиболее распространенных методах дискретной аппроксимации непрерывных линейных систем, подверженных стационарному случайному воздействию. В ряде случаев полученные аналитические выражения для оценки отличаются простотой [формулы (3.129) — (3.132), (3.136) — (3.139)], что существенно облегчает их практическое использование. В общих случаях выражения для оценок оказываются более громоздкими. При решении практических задач методом цифрового моделирования рассмотренные выше приемы оценки погрешности дают скорее лишь некоторое представление о величине погрешности результатов, чем конкретную ее величину, так как практически решаемые задачи содержат обычно значительно более сложные преобразования сигналов и помех, чем простые линейные преобразования. Чтобы получить дискретную модель сложной непрерывной системы, обладающую требуемой точностью, практически можно использовать следующий довольно эффективный прием. Сначала шаг дискретизации выбирается ориентировочно, исходя из данных выше оценок. Окончательно шаг дискретизации выбирается при реализации цифровой модели на ЦВМ путем проведения нескольких пробных решений задачи для различных последовательно уменьшающихся, например в два раза, значений шага дискретизации, начиная с выбранного значения шага и кончая тем значением шага, когда результаты решения практически перестают изменяться. Разница в результатах решения при выбранном и при минимальном шагах дискретизации дает величину погрешности дискретной аппроксимации. В некоторых случаях оценку погрешности цифрового моделирования удобно производить путем сравнения результатов при выбранном шаге дискретизации с результатами аналитического решения задачи, если это решение нетрудно получить при некоторых упрощающих условиях. Этот вопрос будет рассмотрен в § 4.2.
|