6.5.2. Оценка спектра с высоким разрешением

Термин «оценка спектра с высоким разрешением» можно приписать любому из тех разнообразных методов, которые позволяют получить лучшую оценку спектра с частотным разрешением по сравнению с классическими оценками, рассмотренными в предыдущем разделе. В настоящем разделе мы рассмотрим одну из этих методик, предложенную Кэпоном [14, 21]. Эту процедуру иногда ошибочно называют «методом максимального правдоподобия», поскольку форма оптимального фильтра, используемого в данной процедуре, подобна той, которая была найдена в методе оценки по максимальному правдоподобию амплитуды синусоидальной волны известной частоты в гауссовом случайном шуме [14, 15, 22].

Для начала примем, что коэффициенты автокорреляции двумерного дискретного случайного процесса известны для , . Одним из способов оценки спектральной мощности при конкретном значении волнового числа и частоты является фильтрация процесса узкополосным фильтром, коэффициент пропускания которого равен единице для и мал для всех других значений. Можно выбрать этот фильтр с минимальной выходной мощностью с учетом ограничения, что его коэффициент пропускания равен единице при . Среднюю мощность выхода этого фильтра можно использовать как оценку , которую мы обозначим через .

Вместо использования пропускающего фильтра для оценки можно демодулировать , умножив его на комплексную экспоненту и затем пропустив результат через узкополосный фильтр нижних частот. Пусть функция

(6.141)

обозначает демодулированный сигнал, а функция - импульсный отклик низкочастотного фильтра с коэффициентом пропускания при нулевой частоте, равным единице. Допустим, что функция является вещественным импульсным откликом конечной протяженности, равным нулю вне области ; . В таком случае ограничение на коэффициент пропускания можно записать в виде

. (6.142)

Если сигнал пропускается через этот низкочастотный фильтр, то выходной сигнал @ записывается следующим образом:

, (6.143)

а средняя мощность выходного сигнала будет равна

(6.144)

где

. (6.145)

Нам необходимо минимизировать , варьируя коэффициенты импульсного отклика с учетом ограничений, заданных выражением (6.142). Сделав это, мы полностью пропустим необходимую компоненту с заданной частотой и волновым числом и минимизируем вклад в выходную мощность всех других компонент.

Минимизацию с учетом ограничений можно осуществить методом множителей Лагранжа. Вначале составляется квадратичная форма

, (6.146)

в которую входит постоянный, но пока неизвестный множитель Лагранжа . Используя выражение (6.144), продифференцируем по коэффициентам и приравняем результат к нулю. Тогда получим

, (6.147)

или, что то же самое,

. (6.148)

Для отыскания оптимальных коэффициентов постулируем существование обратной функции , удовлетворяющей условию

. (6.149)

Затем, умножая обе части уравнения (6.148) на , производя суммирование по и и применяя уравнение (6.149), определим, что

. (6.150)

Неизвестный параметр , можно легко найти применением ограничения (6.141) к выражению для . В этом случае

. (6.151)

Комбинируя этот результат с уравнением (6.150), получим коэффициент оптимального импульсного отклика:

. (6.152)

Подставив этот результат в уравнение (6.144), читатель может убедиться, что средняя мощность выхода фильтра [рассматривая в качестве спектральной оценки с высоким разрешением функцию ] описывается выражением

. (6.153)

Поскольку величина явно зависит от выбранной точки , для которой производится оценка спектра, сначала может показаться, что для оценки спектра в любой другой точке необходима новая величина . К счастью, это не так. Мы можем определить всего одну обратную функцию в виде

, (6.154)

поэтому

. (6.155)

В этом случае величину можно вычислить один раз и использовать в уравнениях (6.154) и (6.153) для получения оценки спектра с высоким разрешением в любой точке пространства волновое число - частота:

. (6.156)

Это выражение можно несколько упростить, выполнив суммирование по тем значениям , для которых разности и постоянны. Определим множество , элементы которого состоят из сумм , когда и :

. (6.157)

Поскольку и , переменные и лежат в пределах и соответственно. Используя выражение (6.157), оценку с высоким разрешением можно переписать в следующем виде:

. (6.158)

Знаменатель этого выражения можно рассматривать как оценку инверсной спектральной мощности . Коэффициенты играют роль оценок коэффициентов автокорреляции в оценке периодограммы . Если известны значения для и , то соотношение (6.158) сразу дает оценку .

Теперь следует обратиться к проблеме определения из коэффициентов автокорреляции , которые мы считаем известными для , . Это эквивалентно нахождению инверсии блочной тёплицевой матрицы, для которого существуют эффективные алгоритмы [23].

Чтобы показать, каким образом наша задача сводится к инверсии блочной тёплицевой матрицы, запишем сначала составную матрицу

, (6.159)

в которой каждая субматрица есть матрица . Субматрицы вдоль любой диагонали идентичны. Далее, каждая из субматриц является тёплицевой матрицей вида

. (6.160)

Такая матрица с тёплицевыми субматрицами называется блочной тёплицевой матрицей. Числа в матрице (6.160) – это известные коэффициенты автокорреляции.

Определим матрицу, обратную , как и запишем ее в следующем виде:

, (6.161)

где субматрицы имеют вид

. (6.162)

Теперь можно непосредственно показать, что матричное тождество

(6.163)

эквивалентно соотношению между и , описываемому выражением (6.155). Поэтому значения можно вычислить из значений с помощью матрицы и ее обращения. Затем легко вычисляются из формулы (6.157), а - из формулы (6.158).

На практике коэффициенты автокорреляции неизвестны, и их необходимо определить из набора измерений . Для оценки спектра с высоким разрешением интересно воспользоваться методами непосредственной оценки коэффициентов в выражении (6.158) из набора измерений.