1.4. Дискретизация непрерывных двумерных сигналовПочти все дискретные последовательности получаются как результат представления некоторых реальных непрерывных сигналов. Существует много различных способов представления непрерывных сигналов - разложение в ряды Фурье и Тейлора, разложение по нетригонометрическим ортогональным функциям и т. д., однако значительно чаще других способов используется периодическая дискретизация, что частично связано с простотой ее реализации. В настоящем разделе будет рассмотрена взаимосвязь характеристик непрерывных сигналов и получаемых из них путем периодической дискретизации дискретных последовательностей. Мы сделаем это дважды - сначала для частного случая периодической дискретизации по прямоугольному растру, а затем в более общем случае использования других растров дискретизации. 1.4.1. Периодическая дискретизация по прямоугольному раструИз нескольких способов обобщения одномерной периодической дискретизации на двумерный случай наиболее простым является периодическая дискретизация в прямоугольных координатах, которую мы будем для простоты называть прямоугольной дискретизацией. Если
где Рис. 1.23. Расположение отсчетов на плоскости Прежде всего определим двумерное преобразование Фурье для непрерывных сигналов:
Поскольку
Далее преобразуем это выражение так, чтобы получить обратное преобразование Фурье для дискретных сигналов. Начнем с подстановки
Двойной интеграл по всей плоскости
Тогда (1.119) можно записать следующим образом:
Заменяя
Второй экспоненциальный множитель в (1.120) равен 1 для всех значений целочисленных переменных
иначе
Выражение (1.122) и дает нам искомую взаимосвязь между преобразованиями Фурье непрерывного и дискретного сигналов. Правую часть этого выражения можно рассматривать как периодическое продолжение, или дополнение функции Если непрерывный сигнал
Тогда выражение (1.122) упрощается:
Значения На рис. 1.24,а представлено изображение преобразования Фурье сигнала с ограниченным частотным спектром. Периодическое повторение преобразования Фурье дает периодическую функцию, показанную на рис. 1.24,б. Рис. 1.24. а - преобразование Фурье непрерывного сигнала с ограниченным частотным спектром; б - периодическое повторение этого преобразования. Пока
Следовательно, в данном случае непрерывный сигнал
Здесь для удобства использованы обозначения
Вместе взятые выражения (1.115), (1.125) и (1.127) образуют основу двумерной теоремы отсчетов. Эта теорема утверждает, что непрерывный сигнал с ограниченным спектром может быть восстановлен по значениям его отсчетов. Для обеспечения условия (1.123) интервалы дискретизации Непрерывный сигнал с неограниченным частотным спектром также можно подвергнуть дискретизации, однако в этом случае выражения (1.124) и (1.125) несправедливы, так как при периодическом повторении (1.122) в область
|