3.5.4. Реализация фильтров, спроектированных с использованием трансформаций

КИХ-фильтры, разработанные методом трансформации, так же, как и любые другие КИХ-фильтры., можно реализовать либо методом прямой свертки, либо методом ДПФ. Кроме того, для них существует третий метод реализации, связанный с особенностями их структуры. Для фильтров умеренного порядка этот метод часто оказывается наиболее эффективным и сам по себе может служить, достаточным основанием для использования метода трансформации в ряде приложений.

Возможность третьего метода реализации следует из выражения (3.88), т. е. . Для реализации этого частотного отклика можно построить цифровую схему, пользуясь рекуррентной формулой для вычисления полиномов Чебышёва

, (3.97а)

, (3.97б)

. (3.97в)

Если заменить на , то рекуррентная формула приобретает следующий вид:

. (3.98)

Используя это соотношение и имея сигналы, Фурье-спектры которых описываются функциями и , можно образовать сигнал, Фурье-спектр которого равен . Соответствующая схема приведена на рис. 3.14. Поскольку каждый из входных сигналов в свою очередь может быть образован из двух сигналов более низкого порядка, можно построить ступенчатую схему с выходами так, чтобы импульсный отклик части схемы между входом и -м выходом равнялся . Взвесив выходные сигналы в соответствии с выражением (3.88), получим реализацию для фильтра с откликом . Эта реализация воплощена в структуре, изображенной на рис. 3.15.

Рис. 3.14. Схемная реализация Чебышевской рекурсии.

Рис. 3.15. -мерный фильтр, синтезированный с помощью трансформации.

Блок этой схемы с частотным откликом представляет собой КИХ-фильтр нижних частот с нулевой фазой. Для трансформации первого порядка (3.89) -точечный импульсный отклик этого фильтра будет иметь вид

(3.99)

Такой фильтр можно реализовать непосредственно, причем для этого потребуется выполнить 5 умножений и 8 сложений на один выходной отсчет. Поскольку вся схема содержит фильтров, в целом на каждый выходной отсчет потребуется умножений и сложений.

Важной чертой рассмотренной схемы является ее модульность. Для изменения одномерного фильтра-прототипа достаточно взять другие весовые коэффициенты , а для изменения трансформирующей функции - изменить коэффициенты фильтра в каждом блоке. При реализации фильтра, спроектированного с помощью -мерной трансформации, можно заменить на импульсный отклик, соответствующий -мерной трансформирующей функции. Мак-Клеллан и Чэн [18] показали, что эти фильтры обладают хорошими свойствами по отношению к эффектам квантования, когда фильтр реализуется с использованием арифметических устройств конечной точности.

Оценка требуемой памяти осложняется из-за того, что как весь фильтр в целом, так и фильтры отдельных блоков обладают фазовыми характеристиками с нулевой фазой. Поскольку обычно проще выполнить реализацию фильтра в первом квадранте, рассмотрим использование операторов вида для реализации импульсного отклика

, (3.100)

где - порядок трансформации. Такая структура приведена на рис. 3.16. Ветви, помеченные соответствуют задержке отсчетов по координате и отсчетов по координате . Каждый из трансформирующих фильтров требует памяти емкостью немного больше строк. Кроме того, каждая ветвь, помеченная , требует памяти приблизительно на строк. Таким образом, суммарная требуемая емкость составляет строк, что приблизительно в два раза больше, чем в случае реализации при помощи свертки.

Рис. 3.16. Схема фильтра с линейной фазой, построенного с помощью физически реализуемой трансформирующей функции с линейной фазой.

В -мерном случае при трансформации первого порядка становится -мерным фильтром с пространственной протяженностью , а остальная часть структуры не изменяется. Выходной сигнал такого фильтра требует умножений и сложений на один отсчет. Кроме этого необходимо хранить в памяти гиперстрок входного массива размерностью каждая. Это значит, что для гиперкуба с длиной каждой стороны точек необходимо запомнить слов. Требования к объему памяти приблизительно вдвое больше, чем в случае прямой свертки, но количество умножений на один выходной отсчет растет только линейно с ростом . Как и при реализации прямой сверткой, каждый входной отсчет нужно извлечь и поместить во вторичную память только один раз. Рассматриваемая реализация имеет очевидные преимущества перед прямой сверткой в двумерном случае, а по мере роста размерности задачи выигрыш становится еще больше.

В табл. 3.3 приведено число умножений на один выходной отсчет в предположении, что фильтрации подвергается -точечный входной массив -точечным КИХ-фильтром при реализации фильтра прямой сверткой, БПФ и методом трансформаций [4].

Таблица 3.3. Число операций умножения на один выходной отсчет, требующееся для пропускания -точечного входного множества через -точечный фильтр с нулевой фазой, реализованный методом прямой свертки, БПФ и методом трансформаций. (С любезного согласия Рассела М. Мерсеро [4], © 1981 Springer-Verlag.)

	Прямая свертка	ДПФ	Метод трансформаций
5	36	46	31
10	121	46	61
20	441	46	121
40	1681	46	241